Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79709 / 83339
↖ ↑ ↗
← S 43.856316°
E 38.927307°		 ← 220.24 m → S 43.856316°
E 38.930054°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
S 43.858297°
E 38.927307°		 ← 220.23 m →
48 491 m²		 S 43.858297°
E 38.930054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608135223388672 y=0.635829925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608135223388672 × 217)
    floor (0.608135223388672 × 131072)
    floor (79709.5)     		tx = 79709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635829925537109 × 217)
    floor (0.635829925537109 × 131072)
    floor (83339.5)     		ty = 83339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79709 / 83339 ti = "17/79709/83339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79709/83339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79709 ÷ 217
    79709 ÷ 131072     		x = 0.608131408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83339 ÷ 217
    83339 ÷ 131072     		y = 0.635826110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608131408691406 × 2 - 1) × π
    0.216262817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.67940968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635826110839844 × 2 - 1) × π
    -0.271652221679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.85342062393586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67940968} λ = 0.67940968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85342062393586))-π/2
    2×atan(0.425955403873415)-π/2
    2×0.402679604722078-π/2
    0.805359209444156-1.57079632675     		φ = -0.76543712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67940968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.927307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76543712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.856316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79709 KachelY 83339 0.67940968 -0.76543712 38.927307 -43.856316
    Oben rechts KachelX + 1 79710 KachelY 83339 0.67945762 -0.76543712 38.930054 -43.856316
    Unten links KachelX 79709 KachelY + 1 83340 0.67940968 -0.76547168 38.927307 -43.858297
    Unten rechts KachelX + 1 79710 KachelY + 1 83340 0.67945762 -0.76547168 38.930054 -43.858297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76543712--0.76547168) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76543712--0.76547168) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67940968-0.67945762) × cos(-0.76543712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721079566754767 × 6371000     		do = 220.23626027481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67940968-0.67945762) × cos(-0.76547168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721055621349935 × 6371000     		du = 220.228946731819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76543712)-sin(-0.76547168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721079566754767-0.721055621349935)×R²
    abs(0.67945762-0.67940968)×2.39454048325261e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39454048325261e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39454048325261e-05×40589641000000     		ar = 48491.2022535638m²