Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79707 / 82705
↖ ↑ ↗
← S 42.587466°
E 38.921814°		 ← 224.87 m → S 42.587466°
E 38.924560°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 42.589488°
E 38.921814°		 ← 224.86 m →
50 557 m²		 S 42.589488°
E 38.924560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608119964599609 y=0.630992889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608119964599609 × 217)
    floor (0.608119964599609 × 131072)
    floor (79707.5)     		tx = 79707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630992889404297 × 217)
    floor (0.630992889404297 × 131072)
    floor (82705.5)     		ty = 82705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79707 / 82705 ti = "17/79707/82705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79707/82705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79707 ÷ 217
    79707 ÷ 131072     		x = 0.608116149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82705 ÷ 217
    82705 ÷ 131072     		y = 0.630989074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608116149902344 × 2 - 1) × π
    0.216232299804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.67931380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630989074707031 × 2 - 1) × π
    -0.261978149414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.823028629576744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67931380} λ = 0.67931380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823028629576744))-π/2
    2×atan(0.439099768084005)-π/2
    2×0.413752408607322-π/2
    0.827504817214644-1.57079632675     		φ = -0.74329151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67931380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.921814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74329151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.587466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79707 KachelY 82705 0.67931380 -0.74329151 38.921814 -42.587466
    Oben rechts KachelX + 1 79708 KachelY 82705 0.67936174 -0.74329151 38.924560 -42.587466
    Unten links KachelX 79707 KachelY + 1 82706 0.67931380 -0.74332680 38.921814 -42.589488
    Unten rechts KachelX + 1 79708 KachelY + 1 82706 0.67936174 -0.74332680 38.924560 -42.589488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74329151--0.74332680) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dl = 224.832589999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74329151--0.74332680) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dr = 224.832589999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67931380-0.67936174) × cos(-0.74329151) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736245137038508 × 6371000     		do = 224.868215801761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67931380-0.67936174) × cos(-0.74332680) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736221255310134 × 6371000     		du = 224.8609217072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74329151)-sin(-0.74332680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736245137038508-0.736221255310134)×R²
    abs(0.67936174-0.67931380)×2.38817283730874e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38817283730874e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38817283730874e-05×40589641000000     		ar = 50556.883397444m²