Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79705 / 82703
↖ ↑ ↗
← S 42.583422°
E 38.916321°		 ← 224.88 m → S 42.583422°
E 38.919068°		 →
↑
224.90 m
↓
↑
224.90 m
↓
S 42.585445°
E 38.916321°		 ← 224.88 m →
50 574 m²		 S 42.585445°
E 38.919068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608104705810547 y=0.630977630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608104705810547 × 217)
    floor (0.608104705810547 × 131072)
    floor (79705.5)     		tx = 79705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630977630615234 × 217)
    floor (0.630977630615234 × 131072)
    floor (82703.5)     		ty = 82703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79705 / 82703 ti = "17/79705/82703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79705/82703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79705 ÷ 217
    79705 ÷ 131072     		x = 0.608100891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82703 ÷ 217
    82703 ÷ 131072     		y = 0.630973815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608100891113281 × 2 - 1) × π
    0.216201782226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.67921793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630973815917969 × 2 - 1) × π
    -0.261947631835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.822932755777504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67921793} λ = 0.67921793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822932755777504))-π/2
    2×atan(0.439141868265136)-π/2
    2×0.413787703061463-π/2
    0.827575406122925-1.57079632675     		φ = -0.74322092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67921793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.916321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74322092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.583422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79705 KachelY 82703 0.67921793 -0.74322092 38.916321 -42.583422
    Oben rechts KachelX + 1 79706 KachelY 82703 0.67926587 -0.74322092 38.919068 -42.583422
    Unten links KachelX 79705 KachelY + 1 82704 0.67921793 -0.74325622 38.916321 -42.585445
    Unten rechts KachelX + 1 79706 KachelY + 1 82704 0.67926587 -0.74325622 38.919068 -42.585445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74322092--0.74325622) × R
    3.53000000000714e-05 × 6371000     		dl = 224.896300000455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74322092--0.74325622) × R
    3.53000000000714e-05 × 6371000     		dr = 224.896300000455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67921793-0.67926587) × cos(-0.74322092) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73629290451113 × 6371000     		do = 224.882805217435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67921793-0.67926587) × cos(-0.74325622) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736269017849973 × 6371000     		du = 224.875509616274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74322092)-sin(-0.74325622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73629290451113-0.736269017849973)×R²
    abs(0.67926587-0.67921793)×2.38866611570465e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38866611570465e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38866611570465e-05×40589641000000     		ar = 50574.4904554959m²