Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79704 / 82702
↖ ↑ ↗
← S 42.581399°
E 38.913574°		 ← 224.89 m → S 42.581399°
E 38.916321°		 →
↑
224.90 m
↓
↑
224.90 m
↓
S 42.583422°
E 38.913574°		 ← 224.88 m →
50 576 m²		 S 42.583422°
E 38.916321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608097076416016 y=0.630970001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608097076416016 × 217)
    floor (0.608097076416016 × 131072)
    floor (79704.5)     		tx = 79704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630970001220703 × 217)
    floor (0.630970001220703 × 131072)
    floor (82702.5)     		ty = 82702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79704 / 82702 ti = "17/79704/82702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79704/82702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79704 ÷ 217
    79704 ÷ 131072     		x = 0.60809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82702 ÷ 217
    82702 ÷ 131072     		y = 0.630966186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60809326171875 × 2 - 1) × π
    0.2161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67916999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630966186523438 × 2 - 1) × π
    -0.261932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822884818877884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67916999} λ = 0.67916999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822884818877884))-π/2
    2×atan(0.439162919869365)-π/2
    2×0.4138053511472-π/2
    0.827610702294401-1.57079632675     		φ = -0.74318562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67916999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.913574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74318562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.581399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79704 KachelY 82702 0.67916999 -0.74318562 38.913574 -42.581399
    Oben rechts KachelX + 1 79705 KachelY 82702 0.67921793 -0.74318562 38.916321 -42.581399
    Unten links KachelX 79704 KachelY + 1 82703 0.67916999 -0.74322092 38.913574 -42.583422
    Unten rechts KachelX + 1 79705 KachelY + 1 82703 0.67921793 -0.74322092 38.916321 -42.583422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74318562--0.74322092) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dl = 224.896299999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74318562--0.74322092) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dr = 224.896299999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67916999-0.67921793) × cos(-0.74318562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7363167902548 × 6371000     		do = 224.890100537849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67916999-0.67921793) × cos(-0.74322092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73629290451113 × 6371000     		du = 224.882805216914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74318562)-sin(-0.74322092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7363167902548-0.73629290451113)×R²
    abs(0.67921793-0.67916999)×2.38857436697382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38857436697382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38857436697382e-05×40589641000000     		ar = 50576.1311774034m²