Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79698 / 83314
↖ ↑ ↗
← S 43.806783°
E 38.897095°		 ← 220.42 m → S 43.806783°
E 38.899841°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 43.808766°
E 38.897095°		 ← 220.41 m →
48 588 m²		 S 43.808766°
E 38.899841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608051300048828 y=0.635639190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608051300048828 × 217)
    floor (0.608051300048828 × 131072)
    floor (79698.5)     		tx = 79698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635639190673828 × 217)
    floor (0.635639190673828 × 131072)
    floor (83314.5)     		ty = 83314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79698 / 83314 ti = "17/79698/83314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79698/83314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79698 ÷ 217
    79698 ÷ 131072     		x = 0.608047485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83314 ÷ 217
    83314 ÷ 131072     		y = 0.635635375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608047485351562 × 2 - 1) × π
    0.216094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67888237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635635375976562 × 2 - 1) × π
    -0.271270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.852222201445358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67888237} λ = 0.67888237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852222201445358))-π/2
    2×atan(0.426466184413678)-π/2
    2×0.403111863088139-π/2
    0.806223726176278-1.57079632675     		φ = -0.76457260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67888237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.897095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76457260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.806783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79698 KachelY 83314 0.67888237 -0.76457260 38.897095 -43.806783
    Oben rechts KachelX + 1 79699 KachelY 83314 0.67893031 -0.76457260 38.899841 -43.806783
    Unten links KachelX 79698 KachelY + 1 83315 0.67888237 -0.76460720 38.897095 -43.808766
    Unten rechts KachelX + 1 79699 KachelY + 1 83315 0.67893031 -0.76460720 38.899841 -43.808766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76457260--0.76460720) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76457260--0.76460720) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67888237-0.67893031) × cos(-0.76457260) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72167828185305 × 6371000     		do = 220.419123277262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67888237-0.67893031) × cos(-0.76460720) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721654330310942 × 6371000     		du = 220.41180785979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76457260)-sin(-0.76460720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72167828185305-0.721654330310942)×R²
    abs(0.67893031-0.67888237)×2.39515421083247e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39515421083247e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39515421083247e-05×40589641000000     		ar = 48587.6358222588m²