Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79697 / 82737
↖ ↑ ↗
← S 42.652142°
E 38.894348°		 ← 224.59 m → S 42.652142°
E 38.897095°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.654162°
E 38.894348°		 ← 224.58 m →
50 451 m²		 S 42.654162°
E 38.897095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608043670654297 y=0.631237030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608043670654297 × 217)
    floor (0.608043670654297 × 131072)
    floor (79697.5)     		tx = 79697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631237030029297 × 217)
    floor (0.631237030029297 × 131072)
    floor (82737.5)     		ty = 82737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79697 / 82737 ti = "17/79697/82737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79697/82737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79697 ÷ 217
    79697 ÷ 131072     		x = 0.608039855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82737 ÷ 217
    82737 ÷ 131072     		y = 0.631233215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608039855957031 × 2 - 1) × π
    0.216079711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.67883444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631233215332031 × 2 - 1) × π
    -0.262466430664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.824562610364586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67883444} λ = 0.67883444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824562610364586))-π/2
    2×atan(0.438426713833942)-π/2
    2×0.413188008772679-π/2
    0.826376017545358-1.57079632675     		φ = -0.74442031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67883444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.894348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74442031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.652142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79697 KachelY 82737 0.67883444 -0.74442031 38.894348 -42.652142
    Oben rechts KachelX + 1 79698 KachelY 82737 0.67888237 -0.74442031 38.897095 -42.652142
    Unten links KachelX 79697 KachelY + 1 82738 0.67883444 -0.74445557 38.894348 -42.654162
    Unten rechts KachelX + 1 79698 KachelY + 1 82738 0.67888237 -0.74445557 38.897095 -42.654162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74442031--0.74445557) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74442031--0.74445557) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67883444-0.67888237) × cos(-0.74442031) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.735480792328485 × 6371000     		do = 224.587907771052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67883444-0.67888237) × cos(-0.74445557) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.73545690161437 × 6371000     		du = 224.580612454091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74442031)-sin(-0.74445557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735480792328485-0.73545690161437)×R²
    abs(0.67888237-0.67883444)×2.38907141150158e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38907141150158e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38907141150158e-05×40589641000000     		ar = 50450.9360899988m²