Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79697 / 82735
↖ ↑ ↗
← S 42.648101°
E 38.894348°		 ← 224.60 m → S 42.648101°
E 38.897095°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.650122°
E 38.894348°		 ← 224.60 m →
50 454 m²		 S 42.650122°
E 38.897095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608043670654297 y=0.631221771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608043670654297 × 217)
    floor (0.608043670654297 × 131072)
    floor (79697.5)     		tx = 79697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631221771240234 × 217)
    floor (0.631221771240234 × 131072)
    floor (82735.5)     		ty = 82735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79697 / 82735 ti = "17/79697/82735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79697/82735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79697 ÷ 217
    79697 ÷ 131072     		x = 0.608039855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82735 ÷ 217
    82735 ÷ 131072     		y = 0.631217956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608039855957031 × 2 - 1) × π
    0.216079711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.67883444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631217956542969 × 2 - 1) × π
    -0.262435913085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.824466736565346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67883444} λ = 0.67883444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824466736565346))-π/2
    2×atan(0.438468749483713)-π/2
    2×0.41322326658673-π/2
    0.82644653317346-1.57079632675     		φ = -0.74434979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67883444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.894348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74434979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.648101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79697 KachelY 82735 0.67883444 -0.74434979 38.894348 -42.648101
    Oben rechts KachelX + 1 79698 KachelY 82735 0.67888237 -0.74434979 38.897095 -42.648101
    Unten links KachelX 79697 KachelY + 1 82736 0.67883444 -0.74438505 38.894348 -42.650122
    Unten rechts KachelX + 1 79698 KachelY + 1 82736 0.67888237 -0.74438505 38.897095 -42.650122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74434979--0.74438505) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74434979--0.74438505) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67883444-0.67888237) × cos(-0.74434979) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.735528571013487 × 6371000     		do = 224.602497567295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67883444-0.67888237) × cos(-0.74438505) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.7355046821282 × 6371000     		du = 224.595202808789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74434979)-sin(-0.74438505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735528571013487-0.7355046821282)×R²
    abs(0.67888237-0.67883444)×2.38888852864827e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38888852864827e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38888852864827e-05×40589641000000     		ar = 50454.2136256972m²