Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79690 / 82634
↖ ↑ ↗
← S 42.443728°
E 38.875122°		 ← 225.34 m → S 42.443728°
E 38.877868°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.445755°
E 38.875122°		 ← 225.33 m →
50 778 m²		 S 42.445755°
E 38.877868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607990264892578 y=0.630451202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607990264892578 × 217)
    floor (0.607990264892578 × 131072)
    floor (79690.5)     		tx = 79690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630451202392578 × 217)
    floor (0.630451202392578 × 131072)
    floor (82634.5)     		ty = 82634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79690 / 82634 ti = "17/79690/82634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79690/82634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79690 ÷ 217
    79690 ÷ 131072     		x = 0.607986450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82634 ÷ 217
    82634 ÷ 131072     		y = 0.630447387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607986450195312 × 2 - 1) × π
    0.215972900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67849888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630447387695312 × 2 - 1) × π
    -0.260894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.81962510970372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67849888} λ = 0.67849888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81962510970372))-π/2
    2×atan(0.44059679901305)-π/2
    2×0.415006763740837-π/2
    0.830013527481675-1.57079632675     		φ = -0.74078280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67849888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.875122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74078280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.443728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79690 KachelY 82634 0.67849888 -0.74078280 38.875122 -42.443728
    Oben rechts KachelX + 1 79691 KachelY 82634 0.67854681 -0.74078280 38.877868 -42.443728
    Unten links KachelX 79690 KachelY + 1 82635 0.67849888 -0.74081817 38.875122 -42.445755
    Unten rechts KachelX + 1 79691 KachelY + 1 82635 0.67854681 -0.74081817 38.877868 -42.445755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74078280--0.74081817) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dl = 225.342270000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74078280--0.74081817) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dr = 225.342270000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67849888-0.67854681) × cos(-0.74078280) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.737940499948438 × 6371000     		do = 225.339009083086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67849888-0.67854681) × cos(-0.74081817) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.737916629484274 × 6371000     		du = 225.331719949692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74078280)-sin(-0.74081817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737940499948438-0.737916629484274)×R²
    abs(0.67854681-0.67849888)×2.38704641640775e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38704641640775e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38704641640775e-05×40589641000000     		ar = 50777.5825569072m²