Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7969 / 3423
↖ ↑ ↗
← N 71.753313°
W  4.899902°		 ← 765.01 m → N 71.753313°
W  4.877929°		 →
↑
765.16 m
↓
↑
765.16 m
↓
N 71.746432°
W  4.899902°		 ← 765.29 m →
585 461 m²		 N 71.746432°
W  4.877929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486419677734375 y=0.208953857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486419677734375 × 214)
    floor (0.486419677734375 × 16384)
    floor (7969.5)     		tx = 7969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208953857421875 × 214)
    floor (0.208953857421875 × 16384)
    floor (3423.5)     		ty = 3423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7969 / 3423 ti = "14/7969/3423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7969/3423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7969 ÷ 214
    7969 ÷ 16384     		x = 0.48638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3423 ÷ 214
    3423 ÷ 16384     		y = 0.20892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.0272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08551943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20892333984375 × 2 - 1) × π
    0.5821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82888859430438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08551943} λ = -0.08551943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82888859430438))-π/2
    2×atan(6.22696213007955)-π/2
    2×1.41156394222966-π/2
    2.82312788445932-1.57079632675     		φ = 1.25233156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08551943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25233156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.753313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7969 KachelY 3423 -0.08551943 1.25233156 -4.899902 71.753313
    Oben rechts KachelX + 1 7970 KachelY 3423 -0.08513593 1.25233156 -4.877929 71.753313
    Unten links KachelX 7969 KachelY + 1 3424 -0.08551943 1.25221146 -4.899902 71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 7970 KachelY + 1 3424 -0.08513593 1.25221146 -4.877929 71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25233156-1.25221146) × R
    0.000120099999999956 × 6371000     		dl = 765.157099999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25233156-1.25221146) × R
    0.000120099999999956 × 6371000     		dr = 765.157099999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08551943--0.08513593) × cos(1.25233156) × R
    0.000383499999999995 × 0.31310889274794 × 6371000     		do = 765.012225809837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08551943--0.08513593) × cos(1.25221146) × R
    0.000383499999999995 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 765.290903177629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25233156)-sin(1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31310889274794-0.313222951529119)×R²
    abs(-0.08513593--0.08551943)×0.000114058781179205×R²
    0.000383499999999995×0.000114058781179205×6371000²
    0.000383499999999995×0.000114058781179205×40589641000000     		ar = 585461.152852513m²