Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79688 / 82632
↖ ↑ ↗
← S 42.439674°
E 38.869629°		 ← 225.40 m → S 42.439674°
E 38.872375°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.441701°
E 38.869629°		 ← 225.39 m →
50 791 m²		 S 42.441701°
E 38.872375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607975006103516 y=0.630435943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607975006103516 × 217)
    floor (0.607975006103516 × 131072)
    floor (79688.5)     		tx = 79688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630435943603516 × 217)
    floor (0.630435943603516 × 131072)
    floor (82632.5)     		ty = 82632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79688 / 82632 ti = "17/79688/82632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79688/82632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79688 ÷ 217
    79688 ÷ 131072     		x = 0.60797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82632 ÷ 217
    82632 ÷ 131072     		y = 0.63043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60797119140625 × 2 - 1) × π
    0.2159423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67840300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.2608642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81952923590448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67840300} λ = 0.67840300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81952923590448))-π/2
    2×atan(0.440639042727105)-π/2
    2×0.415042139464929-π/2
    0.830084278929857-1.57079632675     		φ = -0.74071205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67840300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74071205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.439674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79688 KachelY 82632 0.67840300 -0.74071205 38.869629 -42.439674
    Oben rechts KachelX + 1 79689 KachelY 82632 0.67845094 -0.74071205 38.872375 -42.439674
    Unten links KachelX 79688 KachelY + 1 82633 0.67840300 -0.74074742 38.869629 -42.441701
    Unten rechts KachelX + 1 79689 KachelY + 1 82633 0.67845094 -0.74074742 38.872375 -42.441701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74071205--0.74074742) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dl = 225.342270000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74071205--0.74074742) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dr = 225.342270000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67840300-0.67845094) × cos(-0.74071205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7379882448553 × 6371000     		do = 225.400605796083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67840300-0.67845094) × cos(-0.74074742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737964376237808 × 6371000     		du = 225.393315705923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74071205)-sin(-0.74074742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7379882448553-0.737964376237808)×R²
    abs(0.67845094-0.67840300)×2.38686174915959e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38686174915959e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38686174915959e-05×40589641000000     		ar = 50791.4627920211m²