Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79688 / 82630
↖ ↑ ↗
← S 42.435620°
E 38.869629°		 ← 225.42 m → S 42.435620°
E 38.872375°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 42.437647°
E 38.869629°		 ← 225.41 m →
50 809 m²		 S 42.437647°
E 38.872375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607975006103516 y=0.630420684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607975006103516 × 217)
    floor (0.607975006103516 × 131072)
    floor (79688.5)     		tx = 79688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630420684814453 × 217)
    floor (0.630420684814453 × 131072)
    floor (82630.5)     		ty = 82630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79688 / 82630 ti = "17/79688/82630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79688/82630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79688 ÷ 217
    79688 ÷ 131072     		x = 0.60797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82630 ÷ 217
    82630 ÷ 131072     		y = 0.630416870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60797119140625 × 2 - 1) × π
    0.2159423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67840300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.260833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81943336210524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67840300} λ = 0.67840300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81943336210524))-π/2
    2×atan(0.440681290491419)-π/2
    2×0.415077517477795-π/2
    0.830155034955589-1.57079632675     		φ = -0.74064129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67840300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74064129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.435620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79688 KachelY 82630 0.67840300 -0.74064129 38.869629 -42.435620
    Oben rechts KachelX + 1 79689 KachelY 82630 0.67845094 -0.74064129 38.872375 -42.435620
    Unten links KachelX 79688 KachelY + 1 82631 0.67840300 -0.74067667 38.869629 -42.437647
    Unten rechts KachelX + 1 79689 KachelY + 1 82631 0.67845094 -0.74067667 38.872375 -42.437647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74064129--0.74067667) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dl = 225.405980000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74064129--0.74067667) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dr = 225.405980000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67840300-0.67845094) × cos(-0.74064129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738035992815729 × 6371000     		do = 225.415189252231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67840300-0.67845094) × cos(-0.74067667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738012119297416 × 6371000     		du = 225.407897665234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74064129)-sin(-0.74067667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738035992815729-0.738012119297416)×R²
    abs(0.67845094-0.67840300)×2.38735183131222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38735183131222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38735183131222e-05×40589641000000     		ar = 50809.1098620717m²