Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79687 / 82631
↖ ↑ ↗
← S 42.437647°
E 38.866883°		 ← 225.36 m → S 42.437647°
E 38.869629°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 42.439674°
E 38.866883°		 ← 225.35 m →
50 797 m²		 S 42.439674°
E 38.869629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607967376708984 y=0.630428314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607967376708984 × 217)
    floor (0.607967376708984 × 131072)
    floor (79687.5)     		tx = 79687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630428314208984 × 217)
    floor (0.630428314208984 × 131072)
    floor (82631.5)     		ty = 82631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79687 / 82631 ti = "17/79687/82631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79687/82631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79687 ÷ 217
    79687 ÷ 131072     		x = 0.607963562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82631 ÷ 217
    82631 ÷ 131072     		y = 0.630424499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607963562011719 × 2 - 1) × π
    0.215927124023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.67835507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630424499511719 × 2 - 1) × π
    -0.260848999023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.81948129900486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67835507} λ = 0.67835507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81948129900486))-π/2
    2×atan(0.440660166102956)-π/2
    2×0.415059828185267-π/2
    0.830119656370533-1.57079632675     		φ = -0.74067667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67835507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.866883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74067667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.437647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79687 KachelY 82631 0.67835507 -0.74067667 38.866883 -42.437647
    Oben rechts KachelX + 1 79688 KachelY 82631 0.67840300 -0.74067667 38.869629 -42.437647
    Unten links KachelX 79687 KachelY + 1 82632 0.67835507 -0.74071205 38.866883 -42.439674
    Unten rechts KachelX + 1 79688 KachelY + 1 82632 0.67840300 -0.74071205 38.869629 -42.439674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74067667--0.74071205) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dl = 225.405979999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74067667--0.74071205) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dr = 225.405979999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67835507-0.67840300) × cos(-0.74067667) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.738012119297416 × 6371000     		do = 225.360878913399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67835507-0.67840300) × cos(-0.74071205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7379882448553 × 6371000     		du = 225.353588565289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74067667)-sin(-0.74071205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738012119297416-0.7379882448553)×R²
    abs(0.67840300-0.67835507)×2.38744421156012e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38744421156012e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38744421156012e-05×40589641000000     		ar = 50796.8681262703m²