Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79686 / 82638
↖ ↑ ↗
← S 42.451835°
E 38.864136°		 ← 225.36 m → S 42.451835°
E 38.866883°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.453861°
E 38.864136°		 ← 225.35 m →
50 782 m²		 S 42.453861°
E 38.866883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607959747314453 y=0.630481719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607959747314453 × 217)
    floor (0.607959747314453 × 131072)
    floor (79686.5)     		tx = 79686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630481719970703 × 217)
    floor (0.630481719970703 × 131072)
    floor (82638.5)     		ty = 82638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79686 / 82638 ti = "17/79686/82638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79686/82638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79686 ÷ 217
    79686 ÷ 131072     		x = 0.607955932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82638 ÷ 217
    82638 ÷ 131072     		y = 0.630477905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607955932617188 × 2 - 1) × π
    0.215911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67830713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630477905273438 × 2 - 1) × π
    -0.260955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.8198168573022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67830713} λ = 0.67830713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8198168573022))-π/2
    2×atan(0.440512323734166)-π/2
    2×0.414936019159097-π/2
    0.829872038318193-1.57079632675     		φ = -0.74092429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67830713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.864136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74092429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.451835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79686 KachelY 82638 0.67830713 -0.74092429 38.864136 -42.451835
    Oben rechts KachelX + 1 79687 KachelY 82638 0.67835507 -0.74092429 38.866883 -42.451835
    Unten links KachelX 79686 KachelY + 1 82639 0.67830713 -0.74095966 38.864136 -42.453861
    Unten rechts KachelX + 1 79687 KachelY + 1 82639 0.67835507 -0.74095966 38.866883 -42.453861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74092429--0.74095966) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74092429--0.74095966) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67830713-0.67835507) × cos(-0.74092429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737845005803234 × 6371000     		do = 225.356856902609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67830713-0.67835507) × cos(-0.74095966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737821131646345 × 6371000     		du = 225.349565120574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74092429)-sin(-0.74095966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737845005803234-0.737821131646345)×R²
    abs(0.67835507-0.67830713)×2.38741568896472e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38741568896472e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38741568896472e-05×40589641000000     		ar = 50781.6041264047m²