Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79682 / 82795
↖ ↑ ↗
← S 42.769195°
E 38.853149°		 ← 224.21 m → S 42.769195°
E 38.855896°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 42.771211°
E 38.853149°		 ← 224.20 m →
50 266 m²		 S 42.771211°
E 38.855896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607929229736328 y=0.631679534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607929229736328 × 217)
    floor (0.607929229736328 × 131072)
    floor (79682.5)     		tx = 79682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631679534912109 × 217)
    floor (0.631679534912109 × 131072)
    floor (82795.5)     		ty = 82795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79682 / 82795 ti = "17/79682/82795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79682/82795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79682 ÷ 217
    79682 ÷ 131072     		x = 0.607925415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82795 ÷ 217
    82795 ÷ 131072     		y = 0.631675720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607925415039062 × 2 - 1) × π
    0.215850830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67811538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631675720214844 × 2 - 1) × π
    -0.263351440429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.827342950542549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67811538} λ = 0.67811538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827342950542549))-π/2
    2×atan(0.437209431440114)-π/2
    2×0.412166528523012-π/2
    0.824333057046024-1.57079632675     		φ = -0.74646327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67811538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.853149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74646327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.769195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79682 KachelY 82795 0.67811538 -0.74646327 38.853149 -42.769195
    Oben rechts KachelX + 1 79683 KachelY 82795 0.67816332 -0.74646327 38.855896 -42.769195
    Unten links KachelX 79682 KachelY + 1 82796 0.67811538 -0.74649846 38.853149 -42.771211
    Unten rechts KachelX + 1 79683 KachelY + 1 82796 0.67816332 -0.74649846 38.855896 -42.771211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74646327--0.74649846) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dl = 224.195489999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74646327--0.74649846) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dr = 224.195489999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67811538-0.67816332) × cos(-0.74646327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734095059954348 × 6371000     		do = 224.211526916754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67811538-0.67816332) × cos(-0.74649846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734071163845877 × 6371000     		du = 224.204228430141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74646327)-sin(-0.74649846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734095059954348-0.734071163845877)×R²
    abs(0.67816332-0.67811538)×2.38961084707556e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38961084707556e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38961084707556e-05×40589641000000     		ar = 50266.3950020514m²