Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79671 / 82877
↖ ↑ ↗
← S 42.934307°
E 38.822937°		 ← 223.57 m → S 42.934307°
E 38.825683°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 42.936318°
E 38.822937°		 ← 223.56 m →
49 979 m²		 S 42.936318°
E 38.825683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607845306396484 y=0.632305145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607845306396484 × 217)
    floor (0.607845306396484 × 131072)
    floor (79671.5)     		tx = 79671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632305145263672 × 217)
    floor (0.632305145263672 × 131072)
    floor (82877.5)     		ty = 82877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79671 / 82877 ti = "17/79671/82877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79671/82877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79671 ÷ 217
    79671 ÷ 131072     		x = 0.607841491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82877 ÷ 217
    82877 ÷ 131072     		y = 0.632301330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607841491699219 × 2 - 1) × π
    0.215682983398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.67758808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632301330566406 × 2 - 1) × π
    -0.264602661132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.831273776311394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67758808} λ = 0.67758808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831273776311394))-π/2
    2×atan(0.435494210666181)-π/2
    2×0.410725654488029-π/2
    0.821451308976058-1.57079632675     		φ = -0.74934502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67758808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.822937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74934502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.934307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79671 KachelY 82877 0.67758808 -0.74934502 38.822937 -42.934307
    Oben rechts KachelX + 1 79672 KachelY 82877 0.67763601 -0.74934502 38.825683 -42.934307
    Unten links KachelX 79671 KachelY + 1 82878 0.67758808 -0.74938011 38.822937 -42.936318
    Unten rechts KachelX + 1 79672 KachelY + 1 82878 0.67763601 -0.74938011 38.825683 -42.936318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74934502--0.74938011) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dl = 223.558390000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74934502--0.74938011) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dr = 223.558390000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67758808-0.67763601) × cos(-0.74934502) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.732135171650121 × 6371000     		do = 223.566282249098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67758808-0.67763601) × cos(-0.74938011) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.732111269317011 × 6371000     		du = 223.558983384138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74934502)-sin(-0.74938011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732135171650121-0.732111269317011)×R²
    abs(0.67763601-0.67758808)×2.39023331101151e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39023331101151e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39023331101151e-05×40589641000000     		ar = 49979.302261727m²