Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79671 / 82743
↖ ↑ ↗
← S 42.664261°
E 38.822937°		 ← 224.54 m → S 42.664261°
E 38.825683°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
S 42.666281°
E 38.822937°		 ← 224.54 m →
50 427 m²		 S 42.666281°
E 38.825683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607845306396484 y=0.631282806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607845306396484 × 217)
    floor (0.607845306396484 × 131072)
    floor (79671.5)     		tx = 79671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631282806396484 × 217)
    floor (0.631282806396484 × 131072)
    floor (82743.5)     		ty = 82743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79671 / 82743 ti = "17/79671/82743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79671/82743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79671 ÷ 217
    79671 ÷ 131072     		x = 0.607841491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82743 ÷ 217
    82743 ÷ 131072     		y = 0.631278991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607841491699219 × 2 - 1) × π
    0.215682983398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.67758808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631278991699219 × 2 - 1) × π
    -0.262557983398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.824850231762306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67758808} λ = 0.67758808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824850231762306))-π/2
    2×atan(0.438300631062632)-π/2
    2×0.413082249072032-π/2
    0.826164498144064-1.57079632675     		φ = -0.74463183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67758808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.822937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74463183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.664261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79671 KachelY 82743 0.67758808 -0.74463183 38.822937 -42.664261
    Oben rechts KachelX + 1 79672 KachelY 82743 0.67763601 -0.74463183 38.825683 -42.664261
    Unten links KachelX 79671 KachelY + 1 82744 0.67758808 -0.74466708 38.822937 -42.666281
    Unten rechts KachelX + 1 79672 KachelY + 1 82744 0.67763601 -0.74466708 38.825683 -42.666281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74463183--0.74466708) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dl = 224.577750000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74463183--0.74466708) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dr = 224.577750000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67758808-0.67763601) × cos(-0.74463183) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.735337461436888 × 6371000     		do = 224.544139959032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67758808-0.67763601) × cos(-0.74466708) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.735313572015308 × 6371000     		du = 224.536845036763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74463183)-sin(-0.74466708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735337461436888-0.735313572015308)×R²
    abs(0.67763601-0.67758808)×2.38894215802699e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38894215802699e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38894215802699e-05×40589641000000     		ar = 50426.7985944222m²