Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79670 / 82874
↖ ↑ ↗
← S 42.928274°
E 38.820190°		 ← 223.63 m → S 42.928274°
E 38.822937°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
S 42.930285°
E 38.820190°		 ← 223.63 m →
50 009 m²		 S 42.930285°
E 38.822937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607837677001953 y=0.632282257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607837677001953 × 217)
    floor (0.607837677001953 × 131072)
    floor (79670.5)     		tx = 79670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632282257080078 × 217)
    floor (0.632282257080078 × 131072)
    floor (82874.5)     		ty = 82874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79670 / 82874 ti = "17/79670/82874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79670/82874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79670 ÷ 217
    79670 ÷ 131072     		x = 0.607833862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82874 ÷ 217
    82874 ÷ 131072     		y = 0.632278442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607833862304688 × 2 - 1) × π
    0.215667724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67754014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632278442382812 × 2 - 1) × π
    -0.264556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.831129965612534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67754014} λ = 0.67754014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831129965612534))-π/2
    2×atan(0.435556843896522)-π/2
    2×0.410778301501942-π/2
    0.821556603003884-1.57079632675     		φ = -0.74923972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67754014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.820190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74923972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.928274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79670 KachelY 82874 0.67754014 -0.74923972 38.820190 -42.928274
    Oben rechts KachelX + 1 79671 KachelY 82874 0.67758808 -0.74923972 38.822937 -42.928274
    Unten links KachelX 79670 KachelY + 1 82875 0.67754014 -0.74927482 38.820190 -42.930285
    Unten rechts KachelX + 1 79671 KachelY + 1 82875 0.67758808 -0.74927482 38.822937 -42.930285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74923972--0.74927482) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74923972--0.74927482) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67754014-0.67758808) × cos(-0.74923972) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.732206893672898 × 6371000     		do = 223.634832333518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67754014-0.67758808) × cos(-0.74927482) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73218298723402 × 6371000     		du = 223.627530691732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74923972)-sin(-0.74927482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732206893672898-0.73218298723402)×R²
    abs(0.67758808-0.67754014)×2.39064388787291e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39064388787291e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39064388787291e-05×40589641000000     		ar = 50008.8744402144m²