Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7967 / 4901
↖ ↑ ↗
← N 77.377506°
W 92.471924°		 ← 266.96 m → N 77.377506°
W 92.460938°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
N 77.375104°
W 92.471924°		 ← 267.01 m →
71 287 m²		 N 77.375104°
W 92.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243148803710938 y=0.149581909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243148803710938 × 215)
    floor (0.243148803710938 × 32768)
    floor (7967.5)     		tx = 7967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149581909179688 × 215)
    floor (0.149581909179688 × 32768)
    floor (4901.5)     		ty = 4901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7967 / 4901 ti = "15/7967/4901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7967/4901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7967 ÷ 215
    7967 ÷ 32768     		x = 0.243133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4901 ÷ 215
    4901 ÷ 32768     		y = 0.149566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.51373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61393954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149566650390625 × 2 - 1) × π
    0.70086669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20183767334842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61393954} λ = -1.61393954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20183767334842))-π/2
    2×atan(9.04161377448101)-π/2
    2×1.46064428330137-π/2
    2.92128856660274-1.57079632675     		φ = 1.35049224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61393954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.471924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35049224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.377506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7967 KachelY 4901 -1.61393954 1.35049224 -92.471924 77.377506
    Oben rechts KachelX + 1 7968 KachelY 4901 -1.61374779 1.35049224 -92.460938 77.377506
    Unten links KachelX 7967 KachelY + 1 4902 -1.61393954 1.35045033 -92.471924 77.375104
    Unten rechts KachelX + 1 7968 KachelY + 1 4902 -1.61374779 1.35045033 -92.460938 77.375104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35049224-1.35045033) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35049224-1.35045033) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61393954--1.61374779) × cos(1.35049224) × R
    0.000191750000000157 × 0.218526370514097 × 6371000     		do = 266.960391380283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61393954--1.61374779) × cos(1.35045033) × R
    0.000191750000000157 × 0.218567267401202 × 6371000     		du = 267.010352622772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35049224)-sin(1.35045033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218526370514097-0.218567267401202)×R²
    abs(-1.61374779--1.61393954)×4.08968871045134e-05×R²
    0.000191750000000157×4.08968871045134e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.08968871045134e-05×40589641000000     		ar = 71287.3930785696m²