Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79669 / 82873
↖ ↑ ↗
← S 42.926263°
E 38.817444°		 ← 223.64 m → S 42.926263°
E 38.820190°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
S 42.928274°
E 38.817444°		 ← 223.63 m →
50 011 m²		 S 42.928274°
E 38.820190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607830047607422 y=0.632274627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607830047607422 × 217)
    floor (0.607830047607422 × 131072)
    floor (79669.5)     		tx = 79669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632274627685547 × 217)
    floor (0.632274627685547 × 131072)
    floor (82873.5)     		ty = 82873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79669 / 82873 ti = "17/79669/82873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79669/82873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79669 ÷ 217
    79669 ÷ 131072     		x = 0.607826232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82873 ÷ 217
    82873 ÷ 131072     		y = 0.632270812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607826232910156 × 2 - 1) × π
    0.215652465820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.67749220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632270812988281 × 2 - 1) × π
    -0.264541625976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.831082028712913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67749220} λ = 0.67749220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831082028712913))-π/2
    2×atan(0.435577723641678)-π/2
    2×0.410795851652554-π/2
    0.821591703305108-1.57079632675     		φ = -0.74920462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67749220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.817444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74920462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.926263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79669 KachelY 82873 0.67749220 -0.74920462 38.817444 -42.926263
    Oben rechts KachelX + 1 79670 KachelY 82873 0.67754014 -0.74920462 38.820190 -42.926263
    Unten links KachelX 79669 KachelY + 1 82874 0.67749220 -0.74923972 38.817444 -42.928274
    Unten rechts KachelX + 1 79670 KachelY + 1 82874 0.67754014 -0.74923972 38.820190 -42.928274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74920462--0.74923972) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dl = 223.622100000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74920462--0.74923972) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dr = 223.622100000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67749220-0.67754014) × cos(-0.74920462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732230799209691 × 6371000     		do = 223.642133699265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67749220-0.67754014) × cos(-0.74923972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732206893672898 × 6371000     		du = 223.634832333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74920462)-sin(-0.74923972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732230799209691-0.732206893672898)×R²
    abs(0.67754014-0.67749220)×2.39055367926566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39055367926566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39055367926566e-05×40589641000000     		ar = 50010.507218312m²