Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79665 / 82769
↖ ↑ ↗
← S 42.716750°
E 38.806457°		 ← 224.40 m → S 42.716750°
E 38.809204°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.718768°
E 38.806457°		 ← 224.39 m →
50 352 m²		 S 42.718768°
E 38.809204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607799530029297 y=0.631481170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607799530029297 × 217)
    floor (0.607799530029297 × 131072)
    floor (79665.5)     		tx = 79665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631481170654297 × 217)
    floor (0.631481170654297 × 131072)
    floor (82769.5)     		ty = 82769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79665 / 82769 ti = "17/79665/82769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79665/82769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79665 ÷ 217
    79665 ÷ 131072     		x = 0.607795715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82769 ÷ 217
    82769 ÷ 131072     		y = 0.631477355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607795715332031 × 2 - 1) × π
    0.215591430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.67730045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631477355957031 × 2 - 1) × π
    -0.262954711914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.826096591152428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67730045} λ = 0.67730045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826096591152428))-π/2
    2×atan(0.437754691244693)-π/2
    2×0.412624195237506-π/2
    0.825248390475012-1.57079632675     		φ = -0.74554794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67730045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.806457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74554794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.716750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79665 KachelY 82769 0.67730045 -0.74554794 38.806457 -42.716750
    Oben rechts KachelX + 1 79666 KachelY 82769 0.67734839 -0.74554794 38.809204 -42.716750
    Unten links KachelX 79665 KachelY + 1 82770 0.67730045 -0.74558316 38.806457 -42.718768
    Unten rechts KachelX + 1 79666 KachelY + 1 82770 0.67734839 -0.74558316 38.809204 -42.718768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74554794--0.74558316) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74554794--0.74558316) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67730045-0.67734839) × cos(-0.74554794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734716304175362 × 6371000     		do = 224.401270892678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67730045-0.67734839) × cos(-0.74558316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734692411370044 × 6371000     		du = 224.393973414933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74554794)-sin(-0.74558316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734716304175362-0.734692411370044)×R²
    abs(0.67734839-0.67730045)×2.38928053176712e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38928053176712e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38928053176712e-05×40589641000000     		ar = 50351.8239762892m²