Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79663 / 82770
↖ ↑ ↗
← S 42.718768°
E 38.800964°		 ← 224.39 m → S 42.718768°
E 38.803711°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.720786°
E 38.800964°		 ← 224.39 m →
50 336 m²		 S 42.720786°
E 38.803711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607784271240234 y=0.631488800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607784271240234 × 217)
    floor (0.607784271240234 × 131072)
    floor (79663.5)     		tx = 79663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631488800048828 × 217)
    floor (0.631488800048828 × 131072)
    floor (82770.5)     		ty = 82770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79663 / 82770 ti = "17/79663/82770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79663/82770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79663 ÷ 217
    79663 ÷ 131072     		x = 0.607780456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82770 ÷ 217
    82770 ÷ 131072     		y = 0.631484985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607780456542969 × 2 - 1) × π
    0.215560913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.67720458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631484985351562 × 2 - 1) × π
    -0.262969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.826144528052048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67720458} λ = 0.67720458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826144528052048))-π/2
    2×atan(0.437733707144961)-π/2
    2×0.412606585512917-π/2
    0.825213171025833-1.57079632675     		φ = -0.74558316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67720458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.800964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74558316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.718768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79663 KachelY 82770 0.67720458 -0.74558316 38.800964 -42.718768
    Oben rechts KachelX + 1 79664 KachelY 82770 0.67725252 -0.74558316 38.803711 -42.718768
    Unten links KachelX 79663 KachelY + 1 82771 0.67720458 -0.74561837 38.800964 -42.720786
    Unten rechts KachelX + 1 79664 KachelY + 1 82771 0.67725252 -0.74561837 38.803711 -42.720786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74558316--0.74561837) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dl = 224.322909999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74558316--0.74561837) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dr = 224.322909999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67720458-0.67725252) × cos(-0.74558316) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734692411370044 × 6371000     		do = 224.393973415453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67720458-0.67725252) × cos(-0.74561837) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734668524437641 × 6371000     		du = 224.386677731447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74558316)-sin(-0.74561837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734692411370044-0.734668524437641)×R²
    abs(0.67725252-0.67720458)×2.38869324031832e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38869324031832e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38869324031832e-05×40589641000000     		ar = 50335.8908137995m²