Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79660 / 82764
↖ ↑ ↗
← S 42.706659°
E 38.792725°		 ← 224.44 m → S 42.706659°
E 38.795471°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.708678°
E 38.792725°		 ← 224.43 m →
50 374 m²		 S 42.708678°
E 38.795471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607761383056641 y=0.631443023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607761383056641 × 217)
    floor (0.607761383056641 × 131072)
    floor (79660.5)     		tx = 79660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631443023681641 × 217)
    floor (0.631443023681641 × 131072)
    floor (82764.5)     		ty = 82764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79660 / 82764 ti = "17/79660/82764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79660/82764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79660 ÷ 217
    79660 ÷ 131072     		x = 0.607757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82764 ÷ 217
    82764 ÷ 131072     		y = 0.631439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607757568359375 × 2 - 1) × π
    0.21551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67706077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.26287841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.825856906654327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67706077} λ = 0.67706077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825856906654327))-π/2
    2×atan(0.43785962683337)-π/2
    2×0.412712252450331-π/2
    0.825424504900661-1.57079632675     		φ = -0.74537182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67706077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.792725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74537182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.706659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79660 KachelY 82764 0.67706077 -0.74537182 38.792725 -42.706659
    Oben rechts KachelX + 1 79661 KachelY 82764 0.67710871 -0.74537182 38.795471 -42.706659
    Unten links KachelX 79660 KachelY + 1 82765 0.67706077 -0.74540705 38.792725 -42.708678
    Unten rechts KachelX + 1 79661 KachelY + 1 82765 0.67710871 -0.74540705 38.795471 -42.708678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74537182--0.74540705) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74537182--0.74540705) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67706077-0.67710871) × cos(-0.74537182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734835768095594 × 6371000     		do = 224.437758248918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67706077-0.67710871) × cos(-0.74540705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734811873065269 × 6371000     		du = 224.430460091599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74537182)-sin(-0.74540705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734835768095594-0.734811873065269)×R²
    abs(0.67710871-0.67706077)×2.38950303249608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38950303249608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38950303249608e-05×40589641000000     		ar = 50374.3098716357m²