Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7966 / 9409
↖ ↑ ↗
← S 25.819672°
W  4.965820°		 ← 2 199.31 m → S 25.819672°
W  4.943848°		 →
↑
2 199.14 m
↓
↑
2 199.14 m
↓
S 25.839449°
W  4.965820°		 ← 2 198.94 m →
4 836 184 m²		 S 25.839449°
W  4.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486236572265625 y=0.574310302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486236572265625 × 214)
    floor (0.486236572265625 × 16384)
    floor (7966.5)     		tx = 7966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574310302734375 × 214)
    floor (0.574310302734375 × 16384)
    floor (9409.5)     		ty = 9409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7966 / 9409 ti = "14/7966/9409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7966/9409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7966 ÷ 214
    7966 ÷ 16384     		x = 0.4862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9409 ÷ 214
    9409 ÷ 16384     		y = 0.57427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4862060546875 × 2 - 1) × π
    -0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.466713654700867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08666991} λ = -0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466713654700867))-π/2
    2×atan(0.627059620281927)-π/2
    2×0.560079019800487-π/2
    1.12015803960097-1.57079632675     		φ = -0.45063829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45063829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.819672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7966 KachelY 9409 -0.08666991 -0.45063829 -4.965820 -25.819672
    Oben rechts KachelX + 1 7967 KachelY 9409 -0.08628642 -0.45063829 -4.943848 -25.819672
    Unten links KachelX 7966 KachelY + 1 9410 -0.08666991 -0.45098347 -4.965820 -25.839449
    Unten rechts KachelX + 1 7967 KachelY + 1 9410 -0.08628642 -0.45098347 -4.943848 -25.839449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45063829--0.45098347) × R
    0.00034518 × 6371000     		dl = 2199.14178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45063829--0.45098347) × R
    0.00034518 × 6371000     		dr = 2199.14178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08666991--0.08628642) × cos(-0.45063829) × R
    0.00038349 × 0.900169284793334 × 6371000     		do = 2199.3069101108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08666991--0.08628642) × cos(-0.45098347) × R
    0.00038349 × 0.900018891405658 × 6371000     		du = 2198.93946676171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45063829)-sin(-0.45098347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900169284793334-0.900018891405658)×R²
    abs(-0.08628642--0.08666991)×0.00015039338767564×R²
    0.00038349×0.00015039338767564×6371000²
    0.00038349×0.00015039338767564×40589641000000     		ar = 4836183.73107587m²