Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79652 / 82853
↖ ↑ ↗
← S 42.886027°
E 38.770752°		 ← 223.74 m → S 42.886027°
E 38.773498°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.888040°
E 38.770752°		 ← 223.73 m →
50 061 m²		 S 42.888040°
E 38.773498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607700347900391 y=0.632122039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607700347900391 × 217)
    floor (0.607700347900391 × 131072)
    floor (79652.5)     		tx = 79652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632122039794922 × 217)
    floor (0.632122039794922 × 131072)
    floor (82853.5)     		ty = 82853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79652 / 82853 ti = "17/79652/82853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79652/82853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79652 ÷ 217
    79652 ÷ 131072     		x = 0.607696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82853 ÷ 217
    82853 ÷ 131072     		y = 0.632118225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607696533203125 × 2 - 1) × π
    0.21539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67667728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632118225097656 × 2 - 1) × π
    -0.264236450195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.830123290720512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67667728} λ = 0.67667728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830123290720512))-π/2
    2×atan(0.435995528804816)-π/2
    2×0.411146974987134-π/2
    0.822293949974269-1.57079632675     		φ = -0.74850238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67667728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.770752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74850238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.886027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79652 KachelY 82853 0.67667728 -0.74850238 38.770752 -42.886027
    Oben rechts KachelX + 1 79653 KachelY 82853 0.67672521 -0.74850238 38.773498 -42.886027
    Unten links KachelX 79652 KachelY + 1 82854 0.67667728 -0.74853750 38.770752 -42.888040
    Unten rechts KachelX + 1 79653 KachelY + 1 82854 0.67672521 -0.74853750 38.773498 -42.888040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74850238--0.74853750) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74850238--0.74853750) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67667728-0.67672521) × cos(-0.74850238) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.73270888379224 × 6371000     		do = 223.741472153451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67667728-0.67672521) × cos(-0.74853750) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.732684982698169 × 6371000     		du = 223.734173666846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74850238)-sin(-0.74853750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73270888379224-0.732684982698169)×R²
    abs(0.67672521-0.67667728)×2.39010940712436e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39010940712436e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39010940712436e-05×40589641000000     		ar = 50061.2304871245m²