Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79652 / 82852
↖ ↑ ↗
← S 42.884015°
E 38.770752°		 ← 223.75 m → S 42.884015°
E 38.773498°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
S 42.886027°
E 38.770752°		 ← 223.74 m →
50 077 m²		 S 42.886027°
E 38.773498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607700347900391 y=0.632114410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607700347900391 × 217)
    floor (0.607700347900391 × 131072)
    floor (79652.5)     		tx = 79652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632114410400391 × 217)
    floor (0.632114410400391 × 131072)
    floor (82852.5)     		ty = 82852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79652 / 82852 ti = "17/79652/82852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79652/82852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79652 ÷ 217
    79652 ÷ 131072     		x = 0.607696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82852 ÷ 217
    82852 ÷ 131072     		y = 0.632110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607696533203125 × 2 - 1) × π
    0.21539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67667728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632110595703125 × 2 - 1) × π
    -0.26422119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.830075353820892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67667728} λ = 0.67667728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830075353820892))-π/2
    2×atan(0.43601642957967)-π/2
    2×0.411164537169754-π/2
    0.822329074339508-1.57079632675     		φ = -0.74846725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67667728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.770752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74846725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.884015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79652 KachelY 82852 0.67667728 -0.74846725 38.770752 -42.884015
    Oben rechts KachelX + 1 79653 KachelY 82852 0.67672521 -0.74846725 38.773498 -42.884015
    Unten links KachelX 79652 KachelY + 1 82853 0.67667728 -0.74850238 38.770752 -42.886027
    Unten rechts KachelX + 1 79653 KachelY + 1 82853 0.67672521 -0.74850238 38.773498 -42.886027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74846725--0.74850238) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74846725--0.74850238) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67667728-0.67672521) × cos(-0.74846725) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.732732790787743 × 6371000     		do = 223.748772442129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67667728-0.67672521) × cos(-0.74850238) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.73270888379224 × 6371000     		du = 223.741472153451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74846725)-sin(-0.74850238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732732790787743-0.73270888379224)×R²
    abs(0.67672521-0.67667728)×2.39069955022542e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39069955022542e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39069955022542e-05×40589641000000     		ar = 50077.1185233215m²