Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7965 / 9394
↖ ↑ ↗
← S 25.522615°
W  4.987793°		 ← 2 204.85 m → S 25.522615°
W  4.965820°		 →
↑
2 204.62 m
↓
↑
2 204.62 m
↓
S 25.542441°
W  4.987793°		 ← 2 204.49 m →
4 860 461 m²		 S 25.542441°
W  4.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486175537109375 y=0.573394775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486175537109375 × 214)
    floor (0.486175537109375 × 16384)
    floor (7965.5)     		tx = 7965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573394775390625 × 214)
    floor (0.573394775390625 × 16384)
    floor (9394.5)     		ty = 9394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7965 / 9394 ti = "14/7965/9394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7965/9394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7965 ÷ 214
    7965 ÷ 16384     		x = 0.48614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9394 ÷ 214
    9394 ÷ 16384     		y = 0.5733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.46096122674646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08705341} λ = -0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46096122674646))-π/2
    2×atan(0.630677130328267)-π/2
    2×0.562671333744014-π/2
    1.12534266748803-1.57079632675     		φ = -0.44545366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44545366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.522615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7965 KachelY 9394 -0.08705341 -0.44545366 -4.987793 -25.522615
    Oben rechts KachelX + 1 7966 KachelY 9394 -0.08666991 -0.44545366 -4.965820 -25.522615
    Unten links KachelX 7965 KachelY + 1 9395 -0.08705341 -0.44579970 -4.987793 -25.542441
    Unten rechts KachelX + 1 7966 KachelY + 1 9395 -0.08666991 -0.44579970 -4.965820 -25.542441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44545366--0.44579970) × R
    0.000346040000000047 × 6371000     		dl = 2204.6208400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44545366--0.44579970) × R
    0.000346040000000047 × 6371000     		dr = 2204.6208400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08705341--0.08666991) × cos(-0.44545366) × R
    0.000383499999999995 × 0.90241529099888 × 6371000     		do = 2204.85187856878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08705341--0.08666991) × cos(-0.44579970) × R
    0.000383499999999995 × 0.902266139647135 × 6371000     		du = 2204.48746027781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44545366)-sin(-0.44579970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90241529099888-0.902266139647135)×R²
    abs(-0.08666991--0.08705341)×0.000149151351744758×R²
    0.000383499999999995×0.000149151351744758×6371000²
    0.000383499999999995×0.000149151351744758×40589641000000     		ar = 4860460.74702831m²