Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79642 / 82710
↖ ↑ ↗
← S 42.597576°
E 38.743286°		 ← 224.78 m → S 42.597576°
E 38.746033°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 42.599598°
E 38.743286°		 ← 224.78 m →
50 538 m²		 S 42.599598°
E 38.746033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607624053955078 y=0.631031036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607624053955078 × 217)
    floor (0.607624053955078 × 131072)
    floor (79642.5)     		tx = 79642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631031036376953 × 217)
    floor (0.631031036376953 × 131072)
    floor (82710.5)     		ty = 82710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79642 / 82710 ti = "17/79642/82710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79642/82710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79642 ÷ 217
    79642 ÷ 131072     		x = 0.607620239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82710 ÷ 217
    82710 ÷ 131072     		y = 0.631027221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607620239257812 × 2 - 1) × π
    0.215240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67619791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631027221679688 × 2 - 1) × π
    -0.262054443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.823268314074844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67619791} λ = 0.67619791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823268314074844))-π/2
    2×atan(0.438994535288314)-π/2
    2×0.413664182489918-π/2
    0.827328364979836-1.57079632675     		φ = -0.74346796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67619791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.743286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74346796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.597576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79642 KachelY 82710 0.67619791 -0.74346796 38.743286 -42.597576
    Oben rechts KachelX + 1 79643 KachelY 82710 0.67624584 -0.74346796 38.746033 -42.597576
    Unten links KachelX 79642 KachelY + 1 82711 0.67619791 -0.74350325 38.743286 -42.599598
    Unten rechts KachelX + 1 79643 KachelY + 1 82711 0.67624584 -0.74350325 38.746033 -42.599598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74346796--0.74350325) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dl = 224.832589999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74346796--0.74350325) × R
    3.52899999999101e-05 × 6371000     		dr = 224.832589999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67619791-0.67624584) × cos(-0.74346796) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.736125719228157 × 6371000     		do = 224.784843958858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67619791-0.67624584) × cos(-0.74350325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73610183291569 × 6371000     		du = 224.777549985994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74346796)-sin(-0.74350325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736125719228157-0.73610183291569)×R²
    abs(0.67624584-0.67619791)×2.38863124668587e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38863124668587e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38863124668587e-05×40589641000000     		ar = 50538.1387039227m²