Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79641 / 82713
↖ ↑ ↗
← S 42.603642°
E 38.740540°		 ← 224.81 m → S 42.603642°
E 38.743286°		 →
↑
224.77 m
↓
↑
224.77 m
↓
S 42.605663°
E 38.740540°		 ← 224.80 m →
50 529 m²		 S 42.605663°
E 38.743286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607616424560547 y=0.631053924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607616424560547 × 217)
    floor (0.607616424560547 × 131072)
    floor (79641.5)     		tx = 79641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631053924560547 × 217)
    floor (0.631053924560547 × 131072)
    floor (82713.5)     		ty = 82713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79641 / 82713 ti = "17/79641/82713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79641/82713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79641 ÷ 217
    79641 ÷ 131072     		x = 0.607612609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82713 ÷ 217
    82713 ÷ 131072     		y = 0.631050109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607612609863281 × 2 - 1) × π
    0.215225219726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.67614997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631050109863281 × 2 - 1) × π
    -0.262100219726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.823412124773705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67614997} λ = 0.67614997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823412124773705))-π/2
    2×atan(0.438931407716717)-π/2
    2×0.413611253689061-π/2
    0.827222507378121-1.57079632675     		φ = -0.74357382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67614997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.740540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74357382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.603642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79641 KachelY 82713 0.67614997 -0.74357382 38.740540 -42.603642
    Oben rechts KachelX + 1 79642 KachelY 82713 0.67619791 -0.74357382 38.743286 -42.603642
    Unten links KachelX 79641 KachelY + 1 82714 0.67614997 -0.74360910 38.740540 -42.605663
    Unten rechts KachelX + 1 79642 KachelY + 1 82714 0.67619791 -0.74360910 38.743286 -42.605663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74357382--0.74360910) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dl = 224.768879999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74357382--0.74360910) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dr = 224.768879999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67614997-0.67619791) × cos(-0.74357382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736054064309825 × 6371000     		do = 224.809857271688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67614997-0.67619791) × cos(-0.74360910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736030182017006 × 6371000     		du = 224.802563004731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74357382)-sin(-0.74360910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736054064309825-0.736030182017006)×R²
    abs(0.67619791-0.67614997)×2.38822928191329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38822928191329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38822928191329e-05×40589641000000     		ar = 50529.4400751585m²