Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79640 / 82712
↖ ↑ ↗
← S 42.601620°
E 38.737793°		 ← 224.82 m → S 42.601620°
E 38.740540°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 42.603642°
E 38.737793°		 ← 224.81 m →
50 545 m²		 S 42.603642°
E 38.740540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607608795166016 y=0.631046295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607608795166016 × 217)
    floor (0.607608795166016 × 131072)
    floor (79640.5)     		tx = 79640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631046295166016 × 217)
    floor (0.631046295166016 × 131072)
    floor (82712.5)     		ty = 82712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79640 / 82712 ti = "17/79640/82712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79640/82712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79640 ÷ 217
    79640 ÷ 131072     		x = 0.60760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82712 ÷ 217
    82712 ÷ 131072     		y = 0.63104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60760498046875 × 2 - 1) × π
    0.2152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67610203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.2620849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.823364187874084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67610203} λ = 0.67610203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823364187874084))-π/2
    2×atan(0.438952449231878)-π/2
    2×0.413628896050206-π/2
    0.827257792100413-1.57079632675     		φ = -0.74353853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67610203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.737793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74353853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.601620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79640 KachelY 82712 0.67610203 -0.74353853 38.737793 -42.601620
    Oben rechts KachelX + 1 79641 KachelY 82712 0.67614997 -0.74353853 38.740540 -42.601620
    Unten links KachelX 79640 KachelY + 1 82713 0.67610203 -0.74357382 38.737793 -42.603642
    Unten rechts KachelX + 1 79641 KachelY + 1 82713 0.67614997 -0.74357382 38.740540 -42.603642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74353853--0.74357382) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74353853--0.74357382) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67610203-0.67614997) × cos(-0.74353853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736077952455461 × 6371000     		do = 224.817153326247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67610203-0.67614997) × cos(-0.74357382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736054064309825 × 6371000     		du = 224.809857271688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74353853)-sin(-0.74357382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736077952455461-0.736054064309825)×R²
    abs(0.67614997-0.67610203)×2.38881456364748e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38881456364748e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38881456364748e-05×40589641000000     		ar = 50545.4026686011m²