Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7964 / 9398
↖ ↑ ↗
← S 25.601902°
W  5.009765°		 ← 2 203.34 m → S 25.601902°
W  4.987793°		 →
↑
2 203.16 m
↓
↑
2 203.16 m
↓
S 25.621716°
W  5.009765°		 ← 2 202.97 m →
4 853 889 m²		 S 25.621716°
W  4.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486114501953125 y=0.573638916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486114501953125 × 214)
    floor (0.486114501953125 × 16384)
    floor (7964.5)     		tx = 7964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573638916015625 × 214)
    floor (0.573638916015625 × 16384)
    floor (9398.5)     		ty = 9398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7964 / 9398 ti = "14/7964/9398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7964/9398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7964 ÷ 214
    7964 ÷ 16384     		x = 0.486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9398 ÷ 214
    9398 ÷ 16384     		y = 0.5736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.02783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08743690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.462495207534302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08743690} λ = -0.08743690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462495207534302))-π/2
    2×atan(0.629710425369992)-π/2
    2×0.561979418788284-π/2
    1.12395883757657-1.57079632675     		φ = -0.44683749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08743690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.009765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44683749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.601902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7964 KachelY 9398 -0.08743690 -0.44683749 -5.009765 -25.601902
    Oben rechts KachelX + 1 7965 KachelY 9398 -0.08705341 -0.44683749 -4.987793 -25.601902
    Unten links KachelX 7964 KachelY + 1 9399 -0.08743690 -0.44718330 -5.009765 -25.621716
    Unten rechts KachelX + 1 7965 KachelY + 1 9399 -0.08705341 -0.44718330 -4.987793 -25.621716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44683749--0.44718330) × R
    0.000345810000000002 × 6371000     		dl = 2203.15551000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44683749--0.44718330) × R
    0.000345810000000002 × 6371000     		dr = 2203.15551000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08743690--0.08705341) × cos(-0.44683749) × R
    0.00038349 × 0.901818180017623 × 6371000     		do = 2203.33551530994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08743690--0.08705341) × cos(-0.44718330) × R
    0.00038349 × 0.901668696171821 × 6371000     		du = 2202.97029416701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44683749)-sin(-0.44718330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901818180017623-0.901668696171821)×R²
    abs(-0.08705341--0.08743690)×0.000149483845801712×R²
    0.00038349×0.000149483845801712×6371000²
    0.00038349×0.000149483845801712×40589641000000     		ar = 4853888.50981821m²