Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79628 / 82690
↖ ↑ ↗
← S 42.557127°
E 38.704834°		 ← 224.98 m → S 42.557127°
E 38.707581°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 42.559150°
E 38.704834°		 ← 224.97 m →
50 610 m²		 S 42.559150°
E 38.707581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607517242431641 y=0.630878448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607517242431641 × 217)
    floor (0.607517242431641 × 131072)
    floor (79628.5)     		tx = 79628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630878448486328 × 217)
    floor (0.630878448486328 × 131072)
    floor (82690.5)     		ty = 82690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79628 / 82690 ti = "17/79628/82690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79628/82690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79628 ÷ 217
    79628 ÷ 131072     		x = 0.607513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82690 ÷ 217
    82690 ÷ 131072     		y = 0.630874633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607513427734375 × 2 - 1) × π
    0.21502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67552679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630874633789062 × 2 - 1) × π
    -0.261749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.822309576082443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67552679} λ = 0.67552679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822309576082443))-π/2
    2×atan(0.439415617849422)-π/2
    2×0.414017172825427-π/2
    0.828034345650855-1.57079632675     		φ = -0.74276198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67552679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.704834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74276198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.557127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79628 KachelY 82690 0.67552679 -0.74276198 38.704834 -42.557127
    Oben rechts KachelX + 1 79629 KachelY 82690 0.67557473 -0.74276198 38.707581 -42.557127
    Unten links KachelX 79628 KachelY + 1 82691 0.67552679 -0.74279729 38.704834 -42.559150
    Unten rechts KachelX + 1 79629 KachelY + 1 82691 0.67557473 -0.74279729 38.707581 -42.559150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74276198--0.74279729) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74276198--0.74279729) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67552679-0.67557473) × cos(-0.74276198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736603374657 × 6371000     		do = 224.977630790964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67552679-0.67557473) × cos(-0.74279729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736579493163029 × 6371000     		du = 224.970336767995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74276198)-sin(-0.74279729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736603374657-0.736579493163029)×R²
    abs(0.67557473-0.67552679)×2.38814939715892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38814939715892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38814939715892e-05×40589641000000     		ar = 50610.1496461259m²