Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79628 / 82676
↖ ↑ ↗
← S 42.528796°
E 38.704834°		 ← 225.08 m → S 42.528796°
E 38.707581°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
S 42.530820°
E 38.704834°		 ← 225.07 m →
50 662 m²		 S 42.530820°
E 38.707581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607517242431641 y=0.630771636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607517242431641 × 217)
    floor (0.607517242431641 × 131072)
    floor (79628.5)     		tx = 79628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630771636962891 × 217)
    floor (0.630771636962891 × 131072)
    floor (82676.5)     		ty = 82676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79628 / 82676 ti = "17/79628/82676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79628/82676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79628 ÷ 217
    79628 ÷ 131072     		x = 0.607513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82676 ÷ 217
    82676 ÷ 131072     		y = 0.630767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607513427734375 × 2 - 1) × π
    0.21502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67552679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.26153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.821638459487762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67552679} λ = 0.67552679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821638459487762))-π/2
    2×atan(0.439710615940508)-π/2
    2×0.414264402292919-π/2
    0.828528804585838-1.57079632675     		φ = -0.74226752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67552679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.704834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74226752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.528796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79628 KachelY 82676 0.67552679 -0.74226752 38.704834 -42.528796
    Oben rechts KachelX + 1 79629 KachelY 82676 0.67557473 -0.74226752 38.707581 -42.528796
    Unten links KachelX 79628 KachelY + 1 82677 0.67552679 -0.74230285 38.704834 -42.530820
    Unten rechts KachelX + 1 79629 KachelY + 1 82677 0.67557473 -0.74230285 38.707581 -42.530820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74226752--0.74230285) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74226752--0.74230285) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67552679-0.67557473) × cos(-0.74226752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736937700242949 × 6371000     		do = 225.079742430453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67552679-0.67557473) × cos(-0.74230285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736913818092594 × 6371000     		du = 225.072448207008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74226752)-sin(-0.74230285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736937700242949-0.736913818092594)×R²
    abs(0.67557473-0.67552679)×2.38821503548703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38821503548703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38821503548703e-05×40589641000000     		ar = 50661.7998548623m²