Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79622 / 82681
↖ ↑ ↗
← S 42.538916°
E 38.688355°		 ← 225 m → S 42.538916°
E 38.691101°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
S 42.540939°
E 38.688355°		 ← 224.99 m →
50 629 m²		 S 42.540939°
E 38.691101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607471466064453 y=0.630809783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607471466064453 × 217)
    floor (0.607471466064453 × 131072)
    floor (79622.5)     		tx = 79622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630809783935547 × 217)
    floor (0.630809783935547 × 131072)
    floor (82681.5)     		ty = 82681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79622 / 82681 ti = "17/79622/82681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79622/82681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79622 ÷ 217
    79622 ÷ 131072     		x = 0.607467651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82681 ÷ 217
    82681 ÷ 131072     		y = 0.630805969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607467651367188 × 2 - 1) × π
    0.214935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67523917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630805969238281 × 2 - 1) × π
    -0.261611938476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.821878143985863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67523917} λ = 0.67523917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821878143985863))-π/2
    2×atan(0.4396052367516)-π/2
    2×0.414176093176146-π/2
    0.828352186352291-1.57079632675     		φ = -0.74244414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67523917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.688355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74244414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.538916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79622 KachelY 82681 0.67523917 -0.74244414 38.688355 -42.538916
    Oben rechts KachelX + 1 79623 KachelY 82681 0.67528710 -0.74244414 38.691101 -42.538916
    Unten links KachelX 79622 KachelY + 1 82682 0.67523917 -0.74247946 38.688355 -42.540939
    Unten rechts KachelX + 1 79623 KachelY + 1 82682 0.67528710 -0.74247946 38.691101 -42.540939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74244414--0.74247946) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dl = 225.02371999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74244414--0.74247946) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dr = 225.02371999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67523917-0.67528710) × cos(-0.74244414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.736818300575974 × 6371000     		do = 224.996332005167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67523917-0.67528710) × cos(-0.74247946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.736794420588754 × 6371000     		du = 224.989039963794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74244414)-sin(-0.74247946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736818300575974-0.736794420588754)×R²
    abs(0.67528710-0.67523917)×2.38799872193107e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38799872193107e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38799872193107e-05×40589641000000     		ar = 50628.6911781985m²