Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79621 / 82834
↖ ↑ ↗
← S 42.847779°
E 38.685608°		 ← 223.93 m → S 42.847779°
E 38.688355°		 →
↑
223.88 m
↓
↑
223.88 m
↓
S 42.849792°
E 38.685608°		 ← 223.92 m →
50 131 m²		 S 42.849792°
E 38.688355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607463836669922 y=0.631977081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607463836669922 × 217)
    floor (0.607463836669922 × 131072)
    floor (79621.5)     		tx = 79621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631977081298828 × 217)
    floor (0.631977081298828 × 131072)
    floor (82834.5)     		ty = 82834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79621 / 82834 ti = "17/79621/82834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79621/82834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79621 ÷ 217
    79621 ÷ 131072     		x = 0.607460021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82834 ÷ 217
    82834 ÷ 131072     		y = 0.631973266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607460021972656 × 2 - 1) × π
    0.214920043945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.67519123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631973266601562 × 2 - 1) × π
    -0.263946533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.829212489627731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67519123} λ = 0.67519123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829212489627731))-π/2
    2×atan(0.436392814905742)-π/2
    2×0.411480754423364-π/2
    0.822961508846729-1.57079632675     		φ = -0.74783482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67519123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.685608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74783482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.847779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79621 KachelY 82834 0.67519123 -0.74783482 38.685608 -42.847779
    Oben rechts KachelX + 1 79622 KachelY 82834 0.67523917 -0.74783482 38.688355 -42.847779
    Unten links KachelX 79621 KachelY + 1 82835 0.67519123 -0.74786996 38.685608 -42.849792
    Unten rechts KachelX + 1 79622 KachelY + 1 82835 0.67523917 -0.74786996 38.688355 -42.849792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74783482--0.74786996) × R
    3.51399999999336e-05 × 6371000     		dl = 223.876939999577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74783482--0.74786996) × R
    3.51399999999336e-05 × 6371000     		dr = 223.876939999577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67519123-0.67523917) × cos(-0.74783482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73316302325144 × 6371000     		do = 223.926858917062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67519123-0.67523917) × cos(-0.74786996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733139125738985 × 6371000     		du = 223.919560001636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74783482)-sin(-0.74786996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73316302325144-0.733139125738985)×R²
    abs(0.67523917-0.67519123)×2.38975124554619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38975124554619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38975124554619e-05×40589641000000     		ar = 50131.2429337377m²