Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79620 / 82709
↖ ↑ ↗
← S 42.595554°
E 38.682861°		 ← 224.84 m → S 42.595554°
E 38.685608°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 42.597576°
E 38.682861°		 ← 224.83 m →
50 550 m²		 S 42.597576°
E 38.685608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607456207275391 y=0.631023406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607456207275391 × 217)
    floor (0.607456207275391 × 131072)
    floor (79620.5)     		tx = 79620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631023406982422 × 217)
    floor (0.631023406982422 × 131072)
    floor (82709.5)     		ty = 82709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79620 / 82709 ti = "17/79620/82709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79620/82709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79620 ÷ 217
    79620 ÷ 131072     		x = 0.607452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82709 ÷ 217
    82709 ÷ 131072     		y = 0.631019592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607452392578125 × 2 - 1) × π
    0.21490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67514329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631019592285156 × 2 - 1) × π
    -0.262039184570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.823220377175224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67514329} λ = 0.67514329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823220377175224))-π/2
    2×atan(0.439015579829687)-π/2
    2×0.413681826568477-π/2
    0.827363653136954-1.57079632675     		φ = -0.74343267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67514329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74343267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.595554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79620 KachelY 82709 0.67514329 -0.74343267 38.682861 -42.595554
    Oben rechts KachelX + 1 79621 KachelY 82709 0.67519123 -0.74343267 38.685608 -42.595554
    Unten links KachelX 79620 KachelY + 1 82710 0.67514329 -0.74346796 38.682861 -42.597576
    Unten rechts KachelX + 1 79621 KachelY + 1 82710 0.67519123 -0.74346796 38.685608 -42.597576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74343267--0.74346796) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74343267--0.74346796) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67514329-0.67519123) × cos(-0.74343267) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736149604623865 × 6371000     		do = 224.839037743325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67514329-0.67519123) × cos(-0.74346796) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736125719228157 × 6371000     		du = 224.831742528665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74343267)-sin(-0.74346796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736149604623865-0.736125719228157)×R²
    abs(0.67519123-0.67514329)×2.38853957077456e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38853957077456e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38853957077456e-05×40589641000000     		ar = 50550.3230931204m²