Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79620 / 82707
↖ ↑ ↗
← S 42.591510°
E 38.682861°		 ← 224.85 m → S 42.591510°
E 38.685608°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 42.593532°
E 38.682861°		 ← 224.85 m →
50 554 m²		 S 42.593532°
E 38.685608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607456207275391 y=0.631008148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607456207275391 × 217)
    floor (0.607456207275391 × 131072)
    floor (79620.5)     		tx = 79620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631008148193359 × 217)
    floor (0.631008148193359 × 131072)
    floor (82707.5)     		ty = 82707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79620 / 82707 ti = "17/79620/82707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79620/82707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79620 ÷ 217
    79620 ÷ 131072     		x = 0.607452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82707 ÷ 217
    82707 ÷ 131072     		y = 0.631004333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607452392578125 × 2 - 1) × π
    0.21490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67514329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631004333496094 × 2 - 1) × π
    -0.262008666992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.823124503375984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67514329} λ = 0.67514329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823124503375984))-π/2
    2×atan(0.439057671938984)-π/2
    2×0.413717116442984-π/2
    0.827434232885969-1.57079632675     		φ = -0.74336209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67514329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74336209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.591510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79620 KachelY 82707 0.67514329 -0.74336209 38.682861 -42.591510
    Oben rechts KachelX + 1 79621 KachelY 82707 0.67519123 -0.74336209 38.685608 -42.591510
    Unten links KachelX 79620 KachelY + 1 82708 0.67514329 -0.74339738 38.682861 -42.593532
    Unten rechts KachelX + 1 79621 KachelY + 1 82708 0.67519123 -0.74339738 38.685608 -42.593532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74336209--0.74339738) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74336209--0.74339738) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67514329-0.67519123) × cos(-0.74336209) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736197372664883 × 6371000     		do = 224.853627332601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67514329-0.67519123) × cos(-0.74339738) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.736173489102783 × 6371000     		du = 224.846332677973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74336209)-sin(-0.74339738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736197372664883-0.736173489102783)×R²
    abs(0.67519123-0.67514329)×2.38835620999245e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38835620999245e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38835620999245e-05×40589641000000     		ar = 50553.6033712304m²