Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79620 / 82668
↖ ↑ ↗
← S 42.512602°
E 38.682861°		 ← 225.14 m → S 42.512602°
E 38.685608°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
S 42.514626°
E 38.682861°		 ← 225.13 m →
50 689 m²		 S 42.514626°
E 38.685608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607456207275391 y=0.630710601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607456207275391 × 217)
    floor (0.607456207275391 × 131072)
    floor (79620.5)     		tx = 79620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630710601806641 × 217)
    floor (0.630710601806641 × 131072)
    floor (82668.5)     		ty = 82668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79620 / 82668 ti = "17/79620/82668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79620/82668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79620 ÷ 217
    79620 ÷ 131072     		x = 0.607452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82668 ÷ 217
    82668 ÷ 131072     		y = 0.630706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607452392578125 × 2 - 1) × π
    0.21490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67514329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.26141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.821254964290802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67514329} λ = 0.67514329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821254964290802))-π/2
    2×atan(0.439879275187712)-π/2
    2×0.414405726641802-π/2
    0.828811453283604-1.57079632675     		φ = -0.74198487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67514329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74198487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.512602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79620 KachelY 82668 0.67514329 -0.74198487 38.682861 -42.512602
    Oben rechts KachelX + 1 79621 KachelY 82668 0.67519123 -0.74198487 38.685608 -42.512602
    Unten links KachelX 79620 KachelY + 1 82669 0.67514329 -0.74202021 38.682861 -42.514626
    Unten rechts KachelX + 1 79621 KachelY + 1 82669 0.67519123 -0.74202021 38.685608 -42.514626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74198487--0.74202021) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74198487--0.74202021) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67514329-0.67519123) × cos(-0.74198487) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73712873108613 × 6371000     		do = 225.138088167616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67514329-0.67519123) × cos(-0.74202021) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.737104849537903 × 6371000     		du = 225.130794128077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74198487)-sin(-0.74202021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73712873108613-0.737104849537903)×R²
    abs(0.67519123-0.67514329)×2.388154822619e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.388154822619e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.388154822619e-05×40589641000000     		ar = 50689.2760829021m²