Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7962 / 9479
↖ ↑ ↗
← S 27.196014°
W  5.053711°		 ← 2 173.17 m → S 27.196014°
W  5.031738°		 →
↑
2 172.96 m
↓
↑
2 172.96 m
↓
S 27.215556°
W  5.053711°		 ← 2 172.79 m →
4 721 790 m²		 S 27.215556°
W  5.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485992431640625 y=0.578582763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485992431640625 × 214)
    floor (0.485992431640625 × 16384)
    floor (7962.5)     		tx = 7962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578582763671875 × 214)
    floor (0.578582763671875 × 16384)
    floor (9479.5)     		ty = 9479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7962 / 9479 ti = "14/7962/9479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7962/9479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7962 ÷ 214
    7962 ÷ 16384     		x = 0.4859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9479 ÷ 214
    9479 ÷ 16384     		y = 0.57855224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.1571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.493558318488098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08820390} λ = -0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493558318488098))-π/2
    2×atan(0.610450348188066)-π/2
    2×0.548068166200668-π/2
    1.09613633240134-1.57079632675     		φ = -0.47465999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47465999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.196014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7962 KachelY 9479 -0.08820390 -0.47465999 -5.053711 -27.196014
    Oben rechts KachelX + 1 7963 KachelY 9479 -0.08782040 -0.47465999 -5.031738 -27.196014
    Unten links KachelX 7962 KachelY + 1 9480 -0.08820390 -0.47500106 -5.053711 -27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 7963 KachelY + 1 9480 -0.08782040 -0.47500106 -5.031738 -27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47465999--0.47500106) × R
    0.000341069999999999 × 6371000     		dl = 2172.95696999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47465999--0.47500106) × R
    0.000341069999999999 × 6371000     		dr = 2172.95696999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08820390--0.08782040) × cos(-0.47465999) × R
    0.000383499999999995 × 0.889448169861455 × 6371000     		do = 2173.16959028681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08820390--0.08782040) × cos(-0.47500106) × R
    0.000383499999999995 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 2172.78860249762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47465999)-sin(-0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889448169861455-0.889292236843915)×R²
    abs(-0.08782040--0.08820390)×0.000155933017540355×R²
    0.000383499999999995×0.000155933017540355×6371000²
    0.000383499999999995×0.000155933017540355×40589641000000     		ar = 4721790.11894278m²