Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7962 / 3418
↖ ↑ ↗
← N 71.787681°
W  5.053711°		 ← 763.62 m → N 71.787681°
W  5.031738°		 →
↑
763.76 m
↓
↑
763.76 m
↓
N 71.780812°
W  5.053711°		 ← 763.90 m →
583 325 m²		 N 71.780812°
W  5.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485992431640625 y=0.208648681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485992431640625 × 214)
    floor (0.485992431640625 × 16384)
    floor (7962.5)     		tx = 7962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208648681640625 × 214)
    floor (0.208648681640625 × 16384)
    floor (3418.5)     		ty = 3418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7962 / 3418 ti = "14/7962/3418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7962/3418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7962 ÷ 214
    7962 ÷ 16384     		x = 0.4859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3418 ÷ 214
    3418 ÷ 16384     		y = 0.2086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2086181640625 × 2 - 1) × π
    0.582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83080607028918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08820390} λ = -0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83080607028918))-π/2
    2×atan(6.23891363512235)-π/2
    2×1.41186385843943-π/2
    2.82372771687885-1.57079632675     		φ = 1.25293139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25293139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.787681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7962 KachelY 3418 -0.08820390 1.25293139 -5.053711 71.787681
    Oben rechts KachelX + 1 7963 KachelY 3418 -0.08782040 1.25293139 -5.031738 71.787681
    Unten links KachelX 7962 KachelY + 1 3419 -0.08820390 1.25281151 -5.053711 71.780812
    Unten rechts KachelX + 1 7963 KachelY + 1 3419 -0.08782040 1.25281151 -5.031738 71.780812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25293139-1.25281151) × R
    0.000119880000000183 × 6371000     		dl = 763.755480001167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25293139-1.25281151) × R
    0.000119880000000183 × 6371000     		dr = 763.755480001167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08820390--0.08782040) × cos(1.25293139) × R
    0.000383499999999995 × 0.312539167566998 × 6371000     		do = 763.620228524333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08820390--0.08782040) × cos(1.25281151) × R
    0.000383499999999995 × 0.312653039917179 × 6371000     		du = 763.898450389276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25293139)-sin(1.25281151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312539167566998-0.312653039917179)×R²
    abs(-0.08782040--0.08820390)×0.000113872350181288×R²
    0.000383499999999995×0.000113872350181288×6371000²
    0.000383499999999995×0.000113872350181288×40589641000000     		ar = 583325.381609222m²