Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79619 / 82706
↖ ↑ ↗
← S 42.589488°
E 38.680115°		 ← 224.81 m → S 42.589488°
E 38.682861°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 42.591510°
E 38.680115°		 ← 224.81 m →
50 545 m²		 S 42.591510°
E 38.682861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607448577880859 y=0.631000518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607448577880859 × 217)
    floor (0.607448577880859 × 131072)
    floor (79619.5)     		tx = 79619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631000518798828 × 217)
    floor (0.631000518798828 × 131072)
    floor (82706.5)     		ty = 82706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79619 / 82706 ti = "17/79619/82706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79619/82706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79619 ÷ 217
    79619 ÷ 131072     		x = 0.607444763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82706 ÷ 217
    82706 ÷ 131072     		y = 0.630996704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607444763183594 × 2 - 1) × π
    0.214889526367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.67509536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630996704101562 × 2 - 1) × π
    -0.261993408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.823076566476364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67509536} λ = 0.67509536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823076566476364))-π/2
    2×atan(0.439078719507005)-π/2
    2×0.413734762238926-π/2
    0.827469524477852-1.57079632675     		φ = -0.74332680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67509536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.680115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74332680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.589488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79619 KachelY 82706 0.67509536 -0.74332680 38.680115 -42.589488
    Oben rechts KachelX + 1 79620 KachelY 82706 0.67514329 -0.74332680 38.682861 -42.589488
    Unten links KachelX 79619 KachelY + 1 82707 0.67509536 -0.74336209 38.680115 -42.591510
    Unten rechts KachelX + 1 79620 KachelY + 1 82707 0.67514329 -0.74336209 38.682861 -42.591510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74332680--0.74336209) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74332680--0.74336209) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67509536-0.67514329) × cos(-0.74332680) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.736221255310134 × 6371000     		do = 224.814017050268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67509536-0.67514329) × cos(-0.74336209) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.736197372664883 × 6371000     		du = 224.806724197232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74332680)-sin(-0.74336209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736221255310134-0.736197372664883)×R²
    abs(0.67514329-0.67509536)×2.38826452513274e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38826452513274e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38826452513274e-05×40589641000000     		ar = 50544.6978915326m²