Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79613 / 82664
↖ ↑ ↗
← S 42.504503°
E 38.663635°		 ← 225.12 m → S 42.504503°
E 38.666382°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
S 42.506528°
E 38.663635°		 ← 225.11 m →
50 685 m²		 S 42.506528°
E 38.666382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607402801513672 y=0.630680084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607402801513672 × 217)
    floor (0.607402801513672 × 131072)
    floor (79613.5)     		tx = 79613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630680084228516 × 217)
    floor (0.630680084228516 × 131072)
    floor (82664.5)     		ty = 82664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79613 / 82664 ti = "17/79613/82664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79613/82664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79613 ÷ 217
    79613 ÷ 131072     		x = 0.607398986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82664 ÷ 217
    82664 ÷ 131072     		y = 0.63067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607398986816406 × 2 - 1) × π
    0.214797973632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.67480774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.821063216692322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67480774} λ = 0.67480774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821063216692322))-π/2
    2×atan(0.439963629069419)-π/2
    2×0.414476402552095-π/2
    0.82895280510419-1.57079632675     		φ = -0.74184352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67480774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.663635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74184352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.504503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79613 KachelY 82664 0.67480774 -0.74184352 38.663635 -42.504503
    Oben rechts KachelX + 1 79614 KachelY 82664 0.67485567 -0.74184352 38.666382 -42.504503
    Unten links KachelX 79613 KachelY + 1 82665 0.67480774 -0.74187886 38.663635 -42.506528
    Unten rechts KachelX + 1 79614 KachelY + 1 82665 0.67485567 -0.74187886 38.666382 -42.506528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74184352--0.74187886) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dl = 225.151140000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74184352--0.74187886) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dr = 225.151140000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67480774-0.67485567) × cos(-0.74184352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73722424131614 × 6371000     		do = 225.120290893644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67480774-0.67485567) × cos(-0.74187886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.737200363450278 × 6371000     		du = 225.112999500052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74184352)-sin(-0.74187886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73722424131614-0.737200363450278)×R²
    abs(0.67485567-0.67480774)×2.38778658615546e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38778658615546e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38778658615546e-05×40589641000000     		ar = 50685.2693043105m²