Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79611 / 82666
↖ ↑ ↗
← S 42.508552°
E 38.658142°		 ← 225.15 m → S 42.508552°
E 38.660889°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
S 42.510577°
E 38.658142°		 ← 225.15 m →
50 693 m²		 S 42.510577°
E 38.660889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607387542724609 y=0.630695343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607387542724609 × 217)
    floor (0.607387542724609 × 131072)
    floor (79611.5)     		tx = 79611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630695343017578 × 217)
    floor (0.630695343017578 × 131072)
    floor (82666.5)     		ty = 82666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79611 / 82666 ti = "17/79611/82666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79611/82666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79611 ÷ 217
    79611 ÷ 131072     		x = 0.607383728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82666 ÷ 217
    82666 ÷ 131072     		y = 0.630691528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607383728027344 × 2 - 1) × π
    0.214767456054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.67471186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630691528320312 × 2 - 1) × π
    -0.261383056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.821159090491562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67471186} λ = 0.67471186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821159090491562))-π/2
    2×atan(0.439921450106734)-π/2
    2×0.414441063452318-π/2
    0.828882126904635-1.57079632675     		φ = -0.74191420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67471186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.658142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74191420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.508552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79611 KachelY 82666 0.67471186 -0.74191420 38.658142 -42.508552
    Oben rechts KachelX + 1 79612 KachelY 82666 0.67475980 -0.74191420 38.660889 -42.508552
    Unten links KachelX 79611 KachelY + 1 82667 0.67471186 -0.74194954 38.658142 -42.510577
    Unten rechts KachelX + 1 79612 KachelY + 1 82667 0.67475980 -0.74194954 38.660889 -42.510577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74191420--0.74194954) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dl = 225.151140000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74191420--0.74194954) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dr = 225.151140000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67471186-0.67475980) × cos(-0.74191420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737176484663715 × 6371000     		do = 225.152673338866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67471186-0.67475980) × cos(-0.74194954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737152604956481 × 6371000     		du = 225.145379861613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74191420)-sin(-0.74194954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737176484663715-0.737152604956481)×R²
    abs(0.67475980-0.67471186)×2.38797072339425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38797072339425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38797072339425e-05×40589641000000     		ar = 50692.5600142572m²