Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79608 / 82793
↖ ↑ ↗
← S 42.765162°
E 38.649902°		 ← 224.23 m → S 42.765162°
E 38.652649°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 42.767179°
E 38.649902°		 ← 224.22 m →
50 270 m²		 S 42.767179°
E 38.652649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607364654541016 y=0.631664276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607364654541016 × 217)
    floor (0.607364654541016 × 131072)
    floor (79608.5)     		tx = 79608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631664276123047 × 217)
    floor (0.631664276123047 × 131072)
    floor (82793.5)     		ty = 82793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79608 / 82793 ti = "17/79608/82793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79608/82793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79608 ÷ 217
    79608 ÷ 131072     		x = 0.60736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82793 ÷ 217
    82793 ÷ 131072     		y = 0.631660461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60736083984375 × 2 - 1) × π
    0.2147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67456805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631660461425781 × 2 - 1) × π
    -0.263320922851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.827247076743309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67456805} λ = 0.67456805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827247076743309))-π/2
    2×atan(0.437251350378801)-π/2
    2×0.412201719909708-π/2
    0.824403439819416-1.57079632675     		φ = -0.74639289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67456805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74639289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.765162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79608 KachelY 82793 0.67456805 -0.74639289 38.649902 -42.765162
    Oben rechts KachelX + 1 79609 KachelY 82793 0.67461599 -0.74639289 38.652649 -42.765162
    Unten links KachelX 79608 KachelY + 1 82794 0.67456805 -0.74642808 38.649902 -42.767179
    Unten rechts KachelX + 1 79609 KachelY + 1 82794 0.67461599 -0.74642808 38.652649 -42.767179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74639289--0.74642808) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dl = 224.19549000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74639289--0.74642808) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dr = 224.19549000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67456805-0.67461599) × cos(-0.74639289) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73414284944409 × 6371000     		do = 224.226123057542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67456805-0.67461599) × cos(-0.74642808) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734118955153762 × 6371000     		du = 224.218825126237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74639289)-sin(-0.74642808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73414284944409-0.734118955153762)×R²
    abs(0.67461599-0.67456805)×2.38942903283412e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38942903283412e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38942903283412e-05×40589641000000     		ar = 50269.6674533415m²