Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79608 / 82759
↖ ↑ ↗
← S 42.696567°
E 38.649902°		 ← 224.47 m → S 42.696567°
E 38.652649°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.698586°
E 38.649902°		 ← 224.47 m →
50 382 m²		 S 42.698586°
E 38.652649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607364654541016 y=0.631404876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607364654541016 × 217)
    floor (0.607364654541016 × 131072)
    floor (79608.5)     		tx = 79608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631404876708984 × 217)
    floor (0.631404876708984 × 131072)
    floor (82759.5)     		ty = 82759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79608 / 82759 ti = "17/79608/82759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79608/82759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79608 ÷ 217
    79608 ÷ 131072     		x = 0.60736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82759 ÷ 217
    82759 ÷ 131072     		y = 0.631401062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60736083984375 × 2 - 1) × π
    0.2147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67456805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631401062011719 × 2 - 1) × π
    -0.262802124023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.825617222156227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67456805} λ = 0.67456805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825617222156227))-π/2
    2×atan(0.437964587576495)-π/2
    2×0.412800323979325-π/2
    0.82560064795865-1.57079632675     		φ = -0.74519568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67456805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74519568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.696567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79608 KachelY 82759 0.67456805 -0.74519568 38.649902 -42.696567
    Oben rechts KachelX + 1 79609 KachelY 82759 0.67461599 -0.74519568 38.652649 -42.696567
    Unten links KachelX 79608 KachelY + 1 82760 0.67456805 -0.74523091 38.649902 -42.698586
    Unten rechts KachelX + 1 79609 KachelY + 1 82760 0.67461599 -0.74523091 38.652649 -42.698586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74519568--0.74523091) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74519568--0.74523091) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67456805-0.67461599) × cos(-0.74519568) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734955222784817 × 6371000     		do = 224.47424278629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67456805-0.67461599) × cos(-0.74523091) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734931332314747 × 6371000     		du = 224.46694602179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74519568)-sin(-0.74523091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734955222784817-0.734931332314747)×R²
    abs(0.67461599-0.67456805)×2.38904700696763e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38904700696763e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38904700696763e-05×40589641000000     		ar = 50382.4989945899m²