Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79607 / 82780
↖ ↑ ↗
← S 42.738944°
E 38.647156°		 ← 224.32 m → S 42.738944°
E 38.649902°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 42.740961°
E 38.647156°		 ← 224.31 m →
50 305 m²		 S 42.740961°
E 38.649902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607357025146484 y=0.631565093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607357025146484 × 217)
    floor (0.607357025146484 × 131072)
    floor (79607.5)     		tx = 79607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631565093994141 × 217)
    floor (0.631565093994141 × 131072)
    floor (82780.5)     		ty = 82780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79607 / 82780 ti = "17/79607/82780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79607/82780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79607 ÷ 217
    79607 ÷ 131072     		x = 0.607353210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82780 ÷ 217
    82780 ÷ 131072     		y = 0.631561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607353210449219 × 2 - 1) × π
    0.214706420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.67452011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.26312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826623897048248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67452011} λ = 0.67452011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826623897048248))-π/2
    2×atan(0.437523921463557)-π/2
    2×0.412430519764195-π/2
    0.824861039528389-1.57079632675     		φ = -0.74593529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67452011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.647156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74593529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.738944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79607 KachelY 82780 0.67452011 -0.74593529 38.647156 -42.738944
    Oben rechts KachelX + 1 79608 KachelY 82780 0.67456805 -0.74593529 38.649902 -42.738944
    Unten links KachelX 79607 KachelY + 1 82781 0.67452011 -0.74597049 38.647156 -42.740961
    Unten rechts KachelX + 1 79608 KachelY + 1 82781 0.67456805 -0.74597049 38.649902 -42.740961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74593529--0.74597049) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74593529--0.74597049) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67452011-0.67456805) × cos(-0.74593529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734453480703751 × 6371000     		do = 224.320997839372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67452011-0.67456805) × cos(-0.74597049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734429591450744 × 6371000     		du = 224.313701446594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74593529)-sin(-0.74597049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734453480703751-0.734429591450744)×R²
    abs(0.67456805-0.67452011)×2.38892530070034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38892530070034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38892530070034e-05×40589641000000     		ar = 50305.2293821358m²