Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79603 / 82828
↖ ↑ ↗
← S 42.835695°
E 38.636170°		 ← 223.92 m → S 42.835695°
E 38.638916°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 42.837710°
E 38.636170°		 ← 223.92 m →
50 159 m²		 S 42.837710°
E 38.638916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607326507568359 y=0.631931304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607326507568359 × 217)
    floor (0.607326507568359 × 131072)
    floor (79603.5)     		tx = 79603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631931304931641 × 217)
    floor (0.631931304931641 × 131072)
    floor (82828.5)     		ty = 82828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79603 / 82828 ti = "17/79603/82828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79603/82828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79603 ÷ 217
    79603 ÷ 131072     		x = 0.607322692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82828 ÷ 217
    82828 ÷ 131072     		y = 0.631927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607322692871094 × 2 - 1) × π
    0.214645385742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.67432837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.26385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.828924868230011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67432837} λ = 0.67432837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828924868230011))-π/2
    2×atan(0.436518348869382)-π/2
    2×0.411586201421799-π/2
    0.823172402843597-1.57079632675     		φ = -0.74762392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67432837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.636170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74762392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.835695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79603 KachelY 82828 0.67432837 -0.74762392 38.636170 -42.835695
    Oben rechts KachelX + 1 79604 KachelY 82828 0.67437630 -0.74762392 38.638916 -42.835695
    Unten links KachelX 79603 KachelY + 1 82829 0.67432837 -0.74765908 38.636170 -42.837710
    Unten rechts KachelX + 1 79604 KachelY + 1 82829 0.67437630 -0.74765908 38.638916 -42.837710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74762392--0.74765908) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74762392--0.74765908) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67432837-0.67437630) × cos(-0.74762392) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.733306430107233 × 6371000     		do = 223.923940109735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67432837-0.67437630) × cos(-0.74765908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73328252443023 × 6371000     		du = 223.916640223677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74762392)-sin(-0.74765908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733306430107233-0.73328252443023)×R²
    abs(0.67437630-0.67432837)×2.39056770036106e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39056770036106e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39056770036106e-05×40589641000000     		ar = 50159.1212950586m²