Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7960 / 9475
↖ ↑ ↗
← S 27.117813°
W  5.097656°		 ← 2 174.69 m → S 27.117813°
W  5.075684°		 →
↑
2 174.49 m
↓
↑
2 174.49 m
↓
S 27.137368°
W  5.097656°		 ← 2 174.31 m →
4 728 423 m²		 S 27.137368°
W  5.075684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485870361328125 y=0.578338623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485870361328125 × 214)
    floor (0.485870361328125 × 16384)
    floor (7960.5)     		tx = 7960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578338623046875 × 214)
    floor (0.578338623046875 × 16384)
    floor (9475.5)     		ty = 9475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7960 / 9475 ti = "14/7960/9475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7960/9475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7960 ÷ 214
    7960 ÷ 16384     		x = 0.48583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9475 ÷ 214
    9475 ÷ 16384     		y = 0.57830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.1566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.492024337700256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08897089} λ = -0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492024337700256))-π/2
    2×atan(0.611387485885966)-π/2
    2×0.548750603384653-π/2
    1.09750120676931-1.57079632675     		φ = -0.47329512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47329512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.117813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7960 KachelY 9475 -0.08897089 -0.47329512 -5.097656 -27.117813
    Oben rechts KachelX + 1 7961 KachelY 9475 -0.08858739 -0.47329512 -5.075684 -27.117813
    Unten links KachelX 7960 KachelY + 1 9476 -0.08897089 -0.47363643 -5.097656 -27.137368
    Unten rechts KachelX + 1 7961 KachelY + 1 9476 -0.08858739 -0.47363643 -5.075684 -27.137368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47329512--0.47363643) × R
    0.000341309999999984 × 6371000     		dl = 2174.4860099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47329512--0.47363643) × R
    0.000341309999999984 × 6371000     		dr = 2174.4860099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08897089--0.08858739) × cos(-0.47329512) × R
    0.000383499999999995 × 0.890071136001445 × 6371000     		do = 2174.69167006288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08897089--0.08858739) × cos(-0.47363643) × R
    0.000383499999999995 × 0.889915507675197 × 6371000     		du = 2174.31142671936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47329512)-sin(-0.47363643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890071136001445-0.889915507675197)×R²
    abs(-0.08858739--0.08897089)×0.000155628326248825×R²
    0.000383499999999995×0.000155628326248825×6371000²
    0.000383499999999995×0.000155628326248825×40589641000000     		ar = 4728423.24160129m²