Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 796 / 758
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E 99.843750°		 ← 16.476 km → S 65.072130°
E100.195313°		 →
↑
16.431 km
↓
↑
16.431 km
↓
S 65.219894°
E 99.843750°		 ← 16.385 km →
269.966 km²		 S 65.219894°
E100.195313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77783203125 y=0.74072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77783203125 × 210)
    floor (0.77783203125 × 1024)
    floor (796.5)     		tx = 796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74072265625 × 210)
    floor (0.74072265625 × 1024)
    floor (758.5)     		ty = 758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 796 / 758 ti = "10/796/758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/796/758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 796 ÷ 210
    796 ÷ 1024     		x = 0.77734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 758 ÷ 210
    758 ÷ 1024     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77734375 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74260217} λ = 1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 796 KachelY 758 1.74260217 -1.13572292 99.843750 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 797 KachelY 758 1.74873810 -1.13572292 100.195313 -65.072130
    Unten links KachelX 796 KachelY + 1 759 1.74260217 -1.13830189 99.843750 -65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 797 KachelY + 1 759 1.74873810 -1.13830189 100.195313 -65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13830189) × R
    0.00257896999999985 × 6371000     		dl = 16430.617869999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13830189) × R
    0.00257896999999985 × 6371000     		dr = 16430.617869999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74260217-1.74873810) × cos(-1.13572292) × R
    0.0061359299999999 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 16476.3819642349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74260217-1.74873810) × cos(-1.13830189) × R
    0.0061359299999999 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 16384.9023647715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.419136860759979)×R²
    abs(1.74873810-1.74260217)×0.00234010989440531×R²
    0.0061359299999999×0.00234010989440531×6371000²
    0.0061359299999999×0.00234010989440531×40589641000000     		ar = 269965752.394133m²