Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79595 / 82847
↖ ↑ ↗
← S 42.873951°
E 38.614197°		 ← 223.83 m → S 42.873951°
E 38.616943°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
S 42.875964°
E 38.614197°		 ← 223.82 m →
50 096 m²		 S 42.875964°
E 38.616943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607265472412109 y=0.632076263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607265472412109 × 217)
    floor (0.607265472412109 × 131072)
    floor (79595.5)     		tx = 79595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632076263427734 × 217)
    floor (0.632076263427734 × 131072)
    floor (82847.5)     		ty = 82847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79595 / 82847 ti = "17/79595/82847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79595/82847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79595 ÷ 217
    79595 ÷ 131072     		x = 0.607261657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82847 ÷ 217
    82847 ÷ 131072     		y = 0.632072448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607261657714844 × 2 - 1) × π
    0.214523315429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.67394487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632072448730469 × 2 - 1) × π
    -0.264144897460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.829835669322792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67394487} λ = 0.67394487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829835669322792))-π/2
    2×atan(0.436120948484037)-π/2
    2×0.411252356676595-π/2
    0.82250471335319-1.57079632675     		φ = -0.74829161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67394487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.614197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74829161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.873951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79595 KachelY 82847 0.67394487 -0.74829161 38.614197 -42.873951
    Oben rechts KachelX + 1 79596 KachelY 82847 0.67399281 -0.74829161 38.616943 -42.873951
    Unten links KachelX 79595 KachelY + 1 82848 0.67394487 -0.74832674 38.614197 -42.875964
    Unten rechts KachelX + 1 79596 KachelY + 1 82848 0.67399281 -0.74832674 38.616943 -42.875964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74829161--0.74832674) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74829161--0.74832674) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67394487-0.67399281) × cos(-0.74829161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732852305396617 × 6371000     		do = 223.831957686321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67394487-0.67399281) × cos(-0.74832674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732828402922542 × 6371000     		du = 223.824657255489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74829161)-sin(-0.74832674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732852305396617-0.732828402922542)×R²
    abs(0.67399281-0.67394487)×2.39024740750216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39024740750216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39024740750216e-05×40589641000000     		ar = 50095.7364656816m²