Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7959 / 9470
↖ ↑ ↗
← S 27.019984°
W  5.119629°		 ← 2 176.53 m → S 27.019984°
W  5.097656°		 →
↑
2 176.40 m
↓
↑
2 176.40 m
↓
S 27.039557°
W  5.119629°		 ← 2 176.15 m →
4 736 589 m²		 S 27.039557°
W  5.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485809326171875 y=0.578033447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485809326171875 × 214)
    floor (0.485809326171875 × 16384)
    floor (7959.5)     		tx = 7959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578033447265625 × 214)
    floor (0.578033447265625 × 16384)
    floor (9470.5)     		ty = 9470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7959 / 9470 ti = "14/7959/9470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7959/9470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7959 ÷ 214
    7959 ÷ 16384     		x = 0.48577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9470 ÷ 214
    9470 ÷ 16384     		y = 0.5780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0284423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08935438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.156005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.490106861715454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08935438} λ = -0.08935438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490106861715454))-π/2
    2×atan(0.612560931374797)-π/2
    2×0.549604321015933-π/2
    1.09920864203187-1.57079632675     		φ = -0.47158768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08935438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.119629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47158768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.019984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7959 KachelY 9470 -0.08935438 -0.47158768 -5.119629 -27.019984
    Oben rechts KachelX + 1 7960 KachelY 9470 -0.08897089 -0.47158768 -5.097656 -27.019984
    Unten links KachelX 7959 KachelY + 1 9471 -0.08935438 -0.47192929 -5.119629 -27.039557
    Unten rechts KachelX + 1 7960 KachelY + 1 9471 -0.08897089 -0.47192929 -5.097656 -27.039557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47158768--0.47192929) × R
    0.000341609999999992 × 6371000     		dl = 2176.39730999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47158768--0.47192929) × R
    0.000341609999999992 × 6371000     		dr = 2176.39730999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08935438--0.08897089) × cos(-0.47158768) × R
    0.00038349 × 0.890848126299601 × 6371000     		do = 2176.53331781897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08935438--0.08897089) × cos(-0.47192929) × R
    0.00038349 × 0.890692880476496 × 6371000     		du = 2176.15401892788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47158768)-sin(-0.47192929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890848126299601-0.890692880476496)×R²
    abs(-0.08897089--0.08935438)×0.000155245823104333×R²
    0.00038349×0.000155245823104333×6371000²
    0.00038349×0.000155245823104333×40589641000000     		ar = 4736588.55154524m²